九年级数学上册专题二方程与几何综合同步测试新人教版

方程与几何综合一一元二次方程与矩形(教材P22习题21.3第9题)如图1，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?图1教材母题答图【解析】结合图形，阅读理解题意(数形结合)．设横彩条宽为3xcm，则竖彩条的宽就为2xcm，其长分别与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“彩条所占面积是图案面积的四分之一”．解：如答图，根据题意，设横向彩条的宽为3xcm，则竖向彩条的宽为2xcm，于是建立方程，得2×30×3x＋2×20×2x－4×3x×2x＝14×30×20，化简，得12x2－130x＋75＝0，解得x1＝65－513312≈0.611，x2＝65＋513312(不合题意，舍去)，∴3x≈1.8，2x≈1.2.答：横向彩条宽约1.8cm，竖向彩条宽约1.2cm.【思想方法】通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思想和方程思想．如图2，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为__(22－x)(17－x)＝300__．【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．设道路的宽为x米，由题意有(22－x)(17－x)＝300.图2图3为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图3所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532，整理，得x2－35x＋34＝0，解得x1＝1，x2＝34.∵34＞30，不合题意，舍去，∴x＝1.答：小道进出口的宽度应为1米．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．如图(1)，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？图4分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽度为2xcm，则每个竖彩条的宽度为3xcm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图(2)所示的情况，得到矩形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图(2)，用含x的代数式表示：AB＝__20－6x__cm；AD＝__30－4x__cm；矩形ABCD的面积为__24x2－260x＋600__cm；(2)列出方程并完成本题解答．解：(2)根据题意，得24x2－260x＋600＝1－13×20×30，整理，得6x2－65x＋50＝0，解方程，得x1＝56，x2＝10(不合题意，舍去)，则2x＝53，3x＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm、52cm.二一元二次方程与三角形(教材P21习题21.3第3题)一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2，求两条直角边的长．解：设一条直角边长为xcm，则另一条直角边长为(14－x)cm，依题意，得12x(14－x)＝24，解得x1＝6，x2＝8.答：这两条直角边的长分别为6cm，8cm.【思想方法】通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思想和方程思想．利用一元二次方程解决与直角三角形有关的问题时，常常用到面积关系或者勾股定理．直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为(A)A．5B.37C．7D.38【解析】设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7－x，根据题意得12x(7－x)＝6，解得x＝3或x＝4，所以斜边长为32＋42＝5.如图5，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以1cm/s的速度移动，若P，Q分别同时从A，B出发，多少秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的23？图5解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，由勾股定理，得BC＝102－82＝6.设ts后四边形APQB的面积是△ABC面积的23，则ts后，CQ＝BC－BQ＝6－t，PC＝AC－AP＝8－2t.根据题意，知S△PCQ＝13S△ABC，∴12CQ×PC＝13×12AC×BC，即12(6－t)(8－2t)＝13×12×8×6，解得t＝2或t＝8(舍去)．答：2s后四边形APQB的面积是△ABC面积的23.三一元二次方程与梯形(教材P26复习题21第12题)如图6，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长100m，下底长180m，上下底相距80m，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少米(结果保留小数点后两位)?【解析】本题首先找出题中的等量关系即甬道面积是梯形面积的六分之一，根据梯形的面积公式即可求解．解：设甬道的宽为x米，依题意得：2×80x＋12(100＋180)x－2x2＝16×12×(100＋180)×80，化简得3x2－450x＋2800＝0，解得x1≈6.50，x2≈143.50(不合题意，舍去)，∴x≈6.50.答：甬道的宽为6.50米．图6图7【思想方法】通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思想和方程思想．如图7，某小区有一个等腰梯形的场地，上底长120m，下底长200m，上下底相距80m，在两腰中点连线处有一条东西方向横向大道，南门有两条纵向大道，宽度与横向大道等宽，北门有一条纵向大道，宽度为横向大道的2倍．大道的所有面积占梯形面积的19%，问东西方向大道的宽应是多少米．解：设东西方向大道宽x米，根据题意，得2x×80＋12(120＋200)x－2x×x＝12(120＋200)×80×19%，化简得x2－160x＋1216＝0，即(x－152)(x－8)＝0.解得x＝152或x＝8，但x＝152不符合题意，舍去，所以x＝8.答：东西方向大道的宽应是8米．