九年级数学下册第26章二次函数263实践与探索第2课时二次函数和一元二次方程不等式的关系教案新版华东

1第2课时二次函数和一元二次方程(不等式)的关系通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．重点使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．难点了解二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．一、创设情境，引入新课我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．二、探究问题，形成概念问题3：(教材P28，问题3)(1)先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－34的图象．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－12，0)和(32，0)．(2)让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．(3)对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－34＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．(4)根据问题3的图象回答下列问题．①当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＞0(当－12＜x＜32时，y＜0；当x＜－12或x＞32时，y＞0)；②能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？(能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2－x－34＜0的解集是什么？x2－x－34＞0的解集是什么？)想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：2(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．问题4：(教材P29，问题4)提问：(1)这两种解法的结果一样吗？(2)小刘解法的理由是什么？(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？(5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？归纳总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．三、练习巩固1．根据二次函数y＝x2－3x－4的图象解题，则方程x2－3x－4＝0的解是________________________________________________________________________，不等式x2－3x－4＞0的解集是________________________________________________________________________，不等式x2－3x－4＜0的解集是________________________________________________________________________．2．抛物线y＝3x2－2x－5与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________________．3．已知方程2x2－3x－5＝0的两根是52，－1，则二次函数y＝2x2－3x－5与x轴的两个交点间的距离为________．4．利用函数的图象，求下列方程的解：(1)x2＋32x－1＝0；(2)23x2＋x＋13＝0.5．利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)y＝－x，y＝（x＋1）2－52；(2)y＝x－6，y＝－x2＋2x.6．如图所示，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y2＝kx＋b(k≠0)的图象交于A(－2，4)，B(8，2)．求能使y1＜y2成立的x的取值范围．3四、小结与作业小结先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充．作业1．布置作业：教材“习题26.3”中第3，4题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程、不等式互相转化的思想；数形结合思想．难度较大，学生不容易理解，应多加练习．