九年级数学下册第26章二次函数专题课堂三二次函数的应用作业课件新版华东师大版

第26章二次函数专题课堂(三)二次函数的应用类型一、以利润为背景的二次函数的应用【例1】(2020·鄂尔多斯)某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该水果每次降价的百分率；(2)从第二次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：时间(天)x销量(斤)120－x储藏和损耗费用(元)3x2－64x＋400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜10)之间的函数表达式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？【分析】(1)根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；(2)根据题意和表格中的数据，可以求得y与x(1≤x＜10)之间的函数表达式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．解：(1)设该水果每次降价的百分率为x，10(1－x)2＝8.1，解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)，答：该水果每次降价的百分率是10%(2)由题意可得，y＝(8.1－4.1)×(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∵1≤x＜10，∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，由上可得，y与x(1≤x＜10)之间的函数表达式是y＝－3x2＋60x＋80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元[对应训练]1．(2020·潍坊)因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝销售价－进价)解：(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx＋b，将点(60，100)，(70，80)代入一次函数表达式得：100＝60k＋b，80＝70k＋b，解得：k＝－2，b＝220，故函数的表达式为：y＝－2x＋220(2)设药店每天获得的利润为W元，由题意得：w＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1800，∵－2＜0，函数有最大值，∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元2．(2020·呼和浩特)已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求0.1＜t≤1)，且每小时可获得利润60(－3t＋5t＋1)元．(1)某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千克；(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解：(1)他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；令y＝60(－3t＋5t＋1)，当t＝1时，y＝180，∵当0.1＜t≤1时，5t随t的增大而减小，－3t也随t的增大而减小，∴－3t＋5t的值随t的增大而减小，∴y＝60(－3t＋5t＋1)随t的增大而减小，∴当t＝1时，y取最小，∴他的结论正确(2)由题意得：60(－3t＋5t＋1)×2＝1800，整理得：－3t2－14t＋5＝0，解得：t1＝13，t2＝－5(舍)，即以13小时/千克的速度匀速生产产品，则1天(按8小时计算)可生产该产品8÷13＝24千克．∴1天(按8小时计算)可生产该产品24千克(3)生产680千克该产品获得的利润为：y＝680t×60(－3t＋5t＋1)，整理得：y＝40800(－3t2＋t＋5)＝－122400(t－16)2＋207400，∴当t＝16时，y最大，且最大值为207400元．∴该厂应该选取16小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元类型二、以面积为背景的二次函数的应用【例2】(2020·毕节)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于点C(－2，0)，且经过点B(8，4)，连结AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N.解答下列问题：(1)抛物线的表达式为________________，顶点坐标为________________；(2)判断点N是否在直线AC上，并说明理由；(3)如图②，将图①中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF.若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连结AF，求四边形AMEF的面积．【分析】(1)将点B，点C坐标代入表达式可求a，b的值，由配方法可求顶点坐标；(2)由余角的性质可得∠MAO＝∠B，利用三角函数可求tan∠MAO＝tan∠NAO＝tan∠CAO＝12，可得∠CAO＝∠NAO，可得AC与AN共线，即可求解；(3)先求出OB的表达式，AF的表达式，联立方程组可求点F坐标，由四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF＋S△DEF＝S四边形AMDF＋S△OAM＝S四边形OAFD，可求解．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点C(－2，0)，且经过点B(8，4)，∴0＝4a－2b＋4，4＝64a＋8b＋4，解得：a＝－15，b＝85，∴抛物线表达式为：y＝－15x2＋85x＋4，∵y＝－15x2＋85x＋4＝－15(x－4)2＋365，∴顶点坐标为(4，365)，故答案为：y＝－15x2＋85x＋4，(4，365)(2)点N在直线AC上，理由如下：∵抛物线y＝－15x2＋85x＋4与y轴交于点A，∴点A(0，4)，即OA＝4，∵点B(8，4)，∴AB∥x轴，AB＝8，∴AB⊥AO，∴∠OAB＝90°，∴∠OAM＋∠BAM＝90°，∵AM⊥OB，∴∠BAM＋∠B＝90°，∴∠B＝∠OAM，∴tan∠B＝tan∠OAM＝OAAB＝48＝12，∵将Rt△OMA沿y轴翻折，∴∠NAO＝∠OAM，∴tan∠NAO＝tan∠OAM＝12，∵OC＝2，OA＝4，∴tan∠CAO＝OCOA＝12，∴tan∠CAO＝tan∠NAO，∴∠CAO＝∠NAO，∴AN，AC共线，∴点N在直线AC上(3)∵点B(8，4)，点O(0，0)，∴直线OB表达式为y＝12x，∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，∴AF∥OB，∴直线AF的表达式为：y＝12x＋4，联立方程组：y＝12x＋4，y＝－15x2＋85x＋4，解得：x1＝0，y1＝4或x2＝112，y2＝274，∴点F(112，274)，∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，∴Rt△OMA≌Rt△DEF，OA＝DF，OA∥DF，∴S△OMA＝S△DEF，四边形OAFD是平行四边形，∵四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF＋S△DEF＝S四边形AMDF＋S△OAM＝S四边形OAFD，∴四边形AMEF的面积＝S四边形OAFD＝4×112＝22[对应训练]3．(2020·绵阳)如图，抛物线过点A(0，1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(3，0)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为433，四边形BDEF为平行四边形．(1)求点F的坐标及抛物线的表达式；(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵A(0，1)，B(3，0)，设直线AB的表达式为y＝kx＋m，∴3k＋m＝0，m＝1，解得k＝－33，m＝1，∴直线AB的表达式为y＝－33x＋1，∵点F的横坐标为433，∴F点纵坐标为－33×433＋1＝－13，∴F点的坐标为(433，－13)，又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝－b2a＝3，∴b＝－23a，∴抛物线的表达式化为：y＝ax2－23ax＋1，∵四边形DBFE为平行四边形．∴BD＝EF，∴－3a＋1＝163a－8a＋1－(－13)，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋23x＋1(2)设P(n，－n2＋23n＋1)，作PP′⊥x轴交AC于点P′，则P′(n，－33n＋1)，∴PP′＝－n2＋733n，S△ABP＝12OB·PP′＝－32n2＋72n＝－32(n－763)2＋49243，∴当n＝763时，△ABP的面积最大为49243，此时P(763，4712)(3)∵y＝－33x＋1，y＝－x2＋23x＋1，∴x＝0或x＝733，∴C(733，－43)，设Q(3，m)，①当AQ为对角线时，∴R(－433，m＋73)，∵R在抛物线y＝－(x－3)2＋4上，∴m＋73＝－(－433－3)2＋4，解得m＝－443，∴Q(3，－443)，R(－433，－373)②当AR为对角线时，∴R(1033，m－73)，∵R在抛物线y＝－(x－3)2＋4上，∴m－73＝－(1033－3)2＋4，解得m＝－10，∴Q(3，－10)，R(1033，－373).综上所述，Q(3，－443)，R(－433，－373)或Q(3，－10)，R(1033，－373)