九年级数学下册第26章二次函数专题课堂四二次函数与几何图形小综合作业课件新版华东师大版

第26章二次函数专题课堂(四)二次函数与几何图形小综合类型一、二次函数与线段、三角形的结合【例1】如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2的图象过点C.求抛物线的表达式．分析：如图，抛物线的表达式中只有一个字母系数，因此只需要找一个抛物线上的点代入求解即可；过点C作CD⊥x轴于点D，证△AOB≌△CDA，则CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，可得点C(3，1)，代入抛物线表达式即可.解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.∵在△AOB与△CDA中，∠OAB＝∠ACD，AB＝CA，∠OBA＝∠CAD，∴△AOB≌△CDA(A.S.A.).∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1).∵点C(3，1)在抛物线上，∴1＝12×9＋3b－2，解得：b＝－12.∴抛物线的表达式为：y＝12x2－12x－2[对应训练]1．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－12x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.过点D作DC⊥x轴，垂足为点C.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．解：(1)∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴4＝－1－m＋n，0＝－1＋m＋n.解得m＝－2，n＝3，∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3(2)y＝－12x＋b经过点B，∴－12×1＋b＝0，∴解得b＝12，∴y＝－12x＋12，设M(m，－12m＋12)，则N(m，－m2－2m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－－12m＋12＝－m2－32m＋52＝－m＋342＋4916，易得D(－52，74).∵N在BD上方，则－52＜m＜1，∴当m＝－34时，MN有最大值，最大值为4916B2．(2020·烟台)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连结BC，抛物线对称轴为直线x＝12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设OB＝t，则OA＝2t，则点A，B的坐标分别为(2t，0)，(－t，0)，则x＝12＝12(2t－t)，解得：t＝1，故点A，B的坐标分别为(2，0)，(－1，0)，则抛物线的表达式为：y＝a(x－2)(x＋1)＝ax2＋bx＋2，解得a＝－1，故抛物线的表达式为：y＝－x2＋x＋2(2)对于y＝－x2＋x＋2，令x＝0，则y＝2，故点C(0，2)，由点A，C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝－x＋2，设点D的横坐标为m，则点D(m，－m2＋m＋2)，则点F(m，－m＋2)，则DF＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m，∵－1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D(1，2)(3)存在，理由：点D(m，－m2＋m＋2)(m＞0)，则OE＝m，DE＝－m2＋m＋2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE＝OBOC或OCOB，即DEOE＝2或12，即－m2＋m＋2m＝2或12，解得：m＝1或－2(舍去)或1＋334或1－334(舍去)，故m＝1或1＋334类型二、二次函数与平行四边形的结合【例2】(2020·青海)如图1(注：与图2完全相同)所示，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过B，D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)【分析】(1)用待定系数法解答便可；(2)求出抛物线与坐标轴的交点A，D坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；(3)分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．解：(1)把B(3，0)和D(－2，－52)代入抛物线的表达式得，－92＋3b＋c＝0，－2－2b＋c＝－52解得b＝1，c＝32，∴抛物线的表达式为：y＝－12x2＋x＋32(2)令x＝0，得y＝－12x2＋x＋32＝32，∴C(0，32)，令y＝0，得y＝－12x2＋x＋32＝0，解得x＝－1，或x＝3，∴A(－1，0)，∵y＝－12x2＋x＋32＝－12(x－1)2＋2，∴M(1，2)，∴S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB＝12OA·OC＋12OC·xM＋12OB·yM＝12×1×32＋12×32×1＋12×3×2＝92(3)设Q(0，n)，①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，P点在Q点左边时，则P(－4，n)，把P(－4，n)代入y＝－12x2＋x＋32，得n＝－212，∴P(－4，－212)；②P点在Q点右边时，则P(4，n)，把P(4，n)代入y＝－12x2＋x＋32，得n＝－52，∴P(4，－52)；③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，则E(1，0)，∵PE＝QE，∴P(2，－n)，把P(2，－n)代入y＝－12x2＋x＋32，得－n＝32，∴n＝－32，∴P(2，32).综上，满足条件的P点坐标为：(－4，－212)或(4，－52)或(2，32)[对应训练]3．(恩施州中考改编)如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，A点坐标为(－1，0)，OC＝2，OB＝3，点D为抛物线的顶点．P为坐标平面内一点，以B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，则P点坐标为．(4，23)或(2，－23)或(－2，143)类型三、二次函数与菱形、矩形、正方形的结合【例3】二次函数y＝23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3…＝∠An－1BnAn＝60°，菱形An－1BnAnCn的周长为__4n__．分析：由于△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，都是等边三角形，因此∠B1A0A1＝60°，可先设出△A0B1A1的边长，然后表示出B1的坐标，代入抛物线的表达式中即可求得△A0B1A1的边长，用同样的方法可求得△A1B2A2，△A2B3A3，…的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形An－1BnAnCn的周长．第4题图[对应训练]4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛物线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连结NQ，则对角线NQ的取值范围为．0＜NQ≤45．(2020·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋bx＋32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为－m＋32.以PQ，QM为边作矩形PQMN.(1)求b的值；(2)当点Q与点M重合时，求m的值；(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．解：(1)把点A(3，0)代入y＝－12x2＋bx＋32，得到0＝－92＋3b＋32，解得b＝1(2)∵抛物线的表达式为y＝－12x2＋x＋32，∴P(m，－12m2＋m＋32)，∵M，Q重合，∴－m＋32＝－12m2＋m＋32，解得m＝0或4(3)由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3－m＝－m＋32－(－12m2＋m＋32)，解得m＝1－7或1＋7(不合题意舍去)，∴m＝1－7(4)当点P在直线l的左边，点M在点Q的下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有－m＋32＜－12m2＋m＋32，∴m2－4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图1中．同理可得，当点M在点Q的上方，即当m＞4时，也满足条件，如图2中．综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4