九年级数学下册第二十八章锐角三角函数检测题新版新人教版

1第二十八章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝4，则下列结论正确的是(D)A．sinA＝32B．tanA＝12C．cosB＝32D．tanB＝32．计算6tan45°－2cos60°的值是(D)A．43B．4C．53D．53．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝35，则cosB的值是(B)A．45B．35C．34D．434．在△ABC中，tanA＝1，cosB＝12，则∠C的度数是(C)A．45°B．60°C．75°D．105°5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝12，若AC＝6，则BC的长为(C)A．8B．12C．63D．123（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是(B)A．sin0·2＝B．2ndFsin0·2＝C．tan0·2＝D．2ndFtan0·2＝7．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为(B)A．tanαtanβB．sinβsinαC．sinαsinβD．cosβcosα8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，AC＝2，则sinB的值是(A)A．23B．32C．34D．432（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，在△ABC中，sinB＝13，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为(B)A．2B．52C．5D．210．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知∠A是锐角，且tanA＝3，则sinA2＝12．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝23，则BC∶AC∶AB＝5∶2∶3．13．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝45，则BC＝6．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB＝6．（第14题图）（第15题图）（第17题图）（第18题图）15．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为100(1＋2)米．(结果保留根号)16．已知a△b＝ab＋(a－b)，例如：2△3＝2×3＋(2－3)＝5，则sin30°△(tan45°－tan60°)的值为32．317．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝43，反比例函数y＝kx的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于－24．18．如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得的俯角β＝45°，已知BC＝60m，则山高CD为82_m．(结果精确到1m，3≈1.732)三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)(12)－1＋(sin60°－1)0－2cos30°；解：原式＝3－3.(2)8－4cos45°＋3·tan30°.解：原式＝1.20．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝12，a＝63，求∠A，∠B，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.解：(1)∠A＝60°，∠B＝30°，b＝6.(2)∠B＝45°，b＝36，c＝63.21．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB∶BD＝3.(1)求tan∠DAC的值；(2)若BD＝4，求S△ABC的值．解：(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E，∴∠BED＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，∴BDAB＝DEAC，∵AB∶BD＝3，∴BDAB＝DEAC＝33，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DC，∴tan∠DAC＝DCAC＝DEAC＝33.(2)∵tan∠DAC＝33，∴∠DAC＝30°，∴∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，∴∠B＝30°，∴AD＝BD＝4，∴CD＝12AD＝2，AC＝32AD＝23，∴BC＝BD＋CD＝6，∴S△ABC＝12AC·BC＝12×23×6＝63.422．(9分)如图，AB和CD两幢楼的地面距离BC为303米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°.(1)求∠CAD的大小；(2)求楼CD的高度(结果保留根号)．解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，则AB＝CE＝30米，AE＝BC＝303米，∠DAE＝45°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝CEAE＝30303＝33，∴∠CAE＝30°，∴∠CAD＝30°＋45°＝75°.(2)在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝303米，∴CD＝CE＋DE＝(30＋303)米．23．(10分)如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在点B测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达点D，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行多少海里就开始有触礁的危险？解：如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，5过点A作AC⊥BD于点C，∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝12AD＝6海里，AC＝AD·cos30°＝12×32＝63(海里)，在Rt△AD′C中，由勾股定理，得(6－x)2＋(63)2＝10.52.解得x1＝4.5，x2＝7.5(舍去).故渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．24．(10分)如图，在△ABC的边BC上取一点O，以点O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AB＝10，tanB＝43，求⊙O的半径；(3)若F是AB的中点，试探究BD＋CE与AF的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO(SSS)，∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线．(2)由(1)知，∠ACO＝90°，∴tanB＝ACBC＝43，设AC＝4x，则BC＝3x，∵AC2＋BC2＝AB2，AB＝10，∴16x2＋9x2＝100，∴x＝2，∴AC＝AD＝4x＝8，∴BD＝AB－AD＝2，∵在Rt△ODB中，tanB＝43，∠ODB＝90°，∴OD＝BD·tanB＝2×43＝83，故⊙O的半径为83.(3)AF＝CE＋BD，理由：如图，连接DE，由(1)知，△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE(SAS)，∴∠OCE＝∠ODE，CE＝DE.∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°－∠OEC－∠OED＝180°－2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠B，∴∠DFE＝180°－∠BCF－∠B＝180°－2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝BD＋DF＝BD＋CE.25．(12分)如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且BC＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺6时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈1.732)解：(1)如图2，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM于点F，过点C作CN⊥DE于点N，由题意可知，AC＝AB－BC＝120－40＝80(mm)，在Rt△CDN中，∠CND＝90°，∠CDN＝60°，CD＝80mm，∴CN＝CD·sin∠CDE＝80×32＝403(mm)＝FM，∠DCN＝90°－60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°－30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°－50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC·sin40°≈80×0.643＝51.44(mm)，∴AM＝AF＋FM＝51.44＋403≈120.7(mm)，答：点A到直线DE的距离约为120.7mm.(2)旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，∴tanD＝BCCD＝4080＝0.5，∴∠D≈26.6°，∴旋转的角度约为60°－26.6°＝33.4°.