2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件733余弦函数的性质与图像

-1-7.3.3余弦函数的性质与图像-2-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值.2.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数y=cosx和y=Acos(ωx+φ)的图像,能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,并能利用余弦函数的图像和性质来解决相关的综合问题.-3-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究思维脉络-4-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.一个基本的过山车构造中,包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.问题:1.函数y=cosx的图像也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是y=cosx的什么性质?2.过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点,然后再爬升,对应y=cosx的什么性质?y=cosx在什么位置取得最值?-5-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:余弦函数的性质与图像1.余弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cosx与之对应,所以y=cosx是一个函数,一般称为余弦函数.2.余弦函数的性质与图像性质与图像y=cosx定义域R值域[-1,1]周期性最小正周期为2π奇偶性偶函数单调性在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减-6-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨3.余弦曲线:函数y=cosx的图像称为余弦曲线.-7-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习1(多选)对于余弦函数y=cosx的图像,有以下描述,其中正确的有()A.将[0,2π]内的图像向左、向右无限延展B.与y=sinx的图像形状完全一样,只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称-8-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨解析余弦函数y=cosx的图像,是将[0,2π]内的图像向左、向右无限“重复”得到的,不是延展,因为延展可能是拉伸,故A错误;正弦函数y=sinx的图像向左平移个单位,会与y=cosx的图像重合,故B正确;当x=kπ+(k∈Z)时,y=cosx=0,故余弦函数y=cosx的图像与x轴有无数个交点,故C正确;余弦函数y=cosx是偶函数,其图像关于y轴对称,故D正确.答案BCDπ2π2-9-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习2函数y=2cosx-1的最大值是,周期是,单调递增区间为.答案12π[2kπ-π,2kπ],k∈Z-10-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)的性质函数y=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)定义域R值域[-A,A],最小值为-A,最大值为A周期性最小正周期-11-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨-12-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知函数f(x)=sinx-π2(x∈R),下面结论错误的是()A.函数f(x)是奇函数B.函数f(x)的最小正周期为2πC.函数f(x)在区间0,π2上单调递增D.函数f(x)的图像关于直线x=0对称-13-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨解析f(x)=sinx-π2=-cosx·f(x)=-cosx是偶函数,A错误;f(x)=-cosx的最小正周期T=2π,B正确;y=cosx在0,π2上单调递减,故f(x)=-cosx在0,π2上单调递增,C正确;由图像(图像略)知f(x)=-cosx的图像关于直线x=0对称,D正确.答案A-14-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测余弦函数的单调性例1(1)(2020辽宁葫芦岛高一检测)函数f(x)=5cos3x+4π5的一个单调递减区间是()A.-4π15,2π15B.-4π15,π15C.-π15,2π15D.-2π5,π15(2)(2020山东济南高一检测)设a=cosπ12,b=sin41π6,c=cos7π4,则()A.acbB.cbaC.cabD.bca分析(1)先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证.(2)利用诱导公式化到一个单调区间,再利用单调性比较.-15-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)f(x)=5cos3x+4π5,由2kπ≤3x+4π5≤π+2kπ(k∈Z),得2𝑘π3−4π15≤x≤2𝑘π3+π15(k∈Z),所以-4π15,π15是f(x)的一个单调递减区间.(2)sin41π6=sin8π-7π6=-sin7π6=sinπ6=cosπ3,cos7π4=cos2π-π4=cos-π4=cosπ4,因为y=cosx在0,π2上单调递减,所以cosπ12cosπ4cosπ3,即acb.答案(1)B(2)A-16-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.余弦型函数单调区间的求法(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正.(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.2.关于三角函数值比较大小利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小.-17-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1函数y=12cosπ6-2x的单调递增区间是.解析函数y=12cosπ6-2x=12cos2x-π6,令-π+2kπ≤2x-π6≤2kπ,k∈Z,解得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,所以函数y=12cos2x-π6的单调递增区间是-5π12+kπ,π12+kπ,k∈Z.答案-5π12+kπ,π12+kπ,k∈Z-18-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测余弦函数的奇偶性、对称性例2(1)(2020甘肃天水高一检测)函数y=3cos2x-π3图像的一条对称轴可以是()A.x=-2π3B.x=2π3C.x=-5π12D.x=5π12(2)(2020山东济宁高一检测)函数y=3cos2x+4(x∈R)是()A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为2π的奇函数(3)已知φ是常数,如果函数y=5cos12𝑥+𝜑的图像关于点4π3,0中心对称,那么|φ|的最小值为.-19-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析(1)令2x-π3=kπ,解出x后验证.(2)根据周期公式和偶函数的定义解题.(3)将4π3代入,令2×4π3+φ=π2+kπ表示出φ.-20-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)根据函数y=3cos2𝑥-π3的图像,要求函数的对称轴方程,令2x-π3=kπ(k∈Z),解得x=𝑘π2+π6(k∈Z),当k=1时,一条对称轴可以是x=2π3.(2)函数f(x)=3cos2x+4,由于x∈R,f(-x)=3cos(-2x)+4=f(x),故函数为偶函数,最小正周期为T=2π2=π.(3)函数的图像关于点4π3,0中心对称,所以f4π3=5cos12×4π3+𝜑=5cos2π3+𝜑=0,即2π3+φ=kπ+π2(k∈Z),解得φ=kπ-π6(k∈Z),当k=0时,φ=-π6.所以|φ|的最小值为π6.答案(1)B(2)A(3)π6-21-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟关于余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的对称问题(1)令ωx+φ=kπ可解出对称轴,令ωx+φ=π2+kπ可解出对称中心.(2)若已知x=α是对称轴,(α,0)是对称中心,则代入α,得ωα+φ=kπ或π2+kπ,可求ω或φ.(3)特别地,当φ=kπ,k∈Z时,函数为偶函数;当φ=π2+kπ,k∈Z时,函数为奇函数.-22-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)(2020湖南娄底高一检测)函数f(x)=3cos4𝑥+5π6图像的一个对称中心是()A.π12,0B.π6,0C.π3,0D.5π6,0(2)若函数f(x)=cos𝑥3+𝜑是奇函数,其中φ∈[0,π],则φ=.-23-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)对于函数f(x)=3cos4𝑥+5π6的图像,令4x+5π6=kπ+π2,求得x=𝑘π4−π12,当k=1时得函数f(x)的一个对称中心是π6,0.(2)因为函数f(x)=cos𝑥3+𝜑是奇函数,可得f(x)=±sin𝑥3,又φ∈[0,π],则φ=π2.答案(1)B(2)π2-24-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测与余弦函数有关的值域问题例3求下列函数的值域.(1)y=-2cosx-1;(2)y=2cos2𝑥+π3,x∈-π6,π6;(3)y=cos2x-3cosx+2;(4)y=2-cos𝑥2+cos𝑥.-25-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)因为-1≤cosx≤1,所以-2≤-2cosx≤2.所以-3≤-2cosx-1≤1.所以y=-2cosx-1的值域为[-3,1].(2)因为-π6xπ6,所以02x+π32π3.所以-12cos2𝑥+π31.所以y=2cos2𝑥+π3,x∈-π6,π6的值域为(-1,2).-26-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)令t=cosx,因为x∈R,所以t∈[-1,1].所以原函数化为y=t2-3t+2=𝑡-322−14.所以二次函数图像开口向上,直线t=32为对称轴.所以t∈[-1,1]为函数的单调递减区间.所以t=-1时,ymax=6;t=1时,ymin=0.所以y=cos2x-3cosx+2的值域为[0,6].(4)y=2-cos𝑥2+cos𝑥=-(2+cos𝑥)+42+cos𝑥=42+cos𝑥-1.因为1≤2+cosx≤3,所以43≤42+cos𝑥≤4.所以13≤42+cos𝑥-1≤3.所以y=2-cos𝑥2+cos𝑥的值域为13,3.-27-7.3.3余弦函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法(1)sinx,cosx的有界性,即|sinx|≤1,|cosx|≤1;(2)sinx,cosx的单调性,通常