2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件735已知三角函数值求角

-1-7.3.5已知三角函数值求角-2-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解符号arcsinx,arccosx,arctanx的意义.2.已知一个三角函数值,能合理地表示出与它对应的角.3.会用信息技术求角.思维脉络-3-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨特工人员发送情报时都用密码传送,接到密码的人员要把密码还原到原来的文字才能有用.这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值.如已知角求三角函数值是加密的过程,那么由三角函数值求角就是还原的过程.对于某一种三角函数来说,由于每一个三角函数值都有多个角对应,因此由三角函数值求角就变得比较困难.究竟如何由三角函数值求角呢?下面我们来一起学习吧!-4-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:利用三角函数线求角如图所示,圆O为单位圆,分别写出sinα的正弦线、余弦线与正切线.(1)正弦线为MP;(2)余弦线为OM;(3)正切线为AT.-5-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习利用单位圆求出cosx≤-12的x的范围.解析如图可得2kπ+23π≤x≤2kπ+43π,k∈Z.答案x2kπ+2π3≤x≤2kπ+4π3,k∈Z-6-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:用信息技术求角1.任意给定一个y∈[-1,1],当sinx=y且x∈[-π2,π2]时,通常记作x=arcsiny.2.在区间[0,π]内,满足cosx=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作arccosy,即x=arccosy.3.在区间(-π2,π2)内,满足tanx=y(y∈R)的x只有一个,这个x记作arctany,即x=arctany.-7-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习(1)arcsin(-1)=;(2)arccos32=;(3)arctan3=.答案(1)-π2(2)π6(3)π3-8-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知正弦值求角例1求下列范围内适合sinx=32的x的集合.(1)x∈-π2,π2;(2)x∈[0,2π];(3)x∈R.分析借助正弦函数的图像及所给角的范围求解.-9-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)由y=sinx在-π2,π2上单调递增及反正弦函数的概念,知适合sinx=32的角x只有一个,即x=π3.这时,适合sinx=32的x的集合为π3.(2)当x∈[0,2π]时,由诱导公式sin(π-x)=sinx=32及sinπ3=sin2π3=32,可知x1=π3,x2=2π3.这时,适合sinx=32的x的集合为π3,2π3.(3)当x∈R时,据正弦函数的周期性可知x=2kπ+π3(k∈Z)或x=2kπ+2π3(k∈Z)时,sinx=32,则所求的x的集合是𝑥𝑥=2𝑘π+π3,𝑘∈Z或𝑥=2𝑘π+2π3,𝑘∈Z=𝑥𝑥=(-1)𝑘·π3+𝑘π,𝑘∈Z.-10-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知正弦值求角的解题策略给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用.对于sinx=a(x∈R),-1≤a≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina(k∈Z)或x=2kπ+π-arcsina(k∈Z).从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z}.-11-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究已知sinx=14.(1)当x∈0,π2时,求x的取值集合;(2)当x∈[0,π]时,求x的取值集合;(3)当x∈R时,求x的取值集合.-12-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)∵y=sinx在0,π2上单调递增,sinx=14,∴满足条件的角只有x=arcsin14,因此x的取值集合为𝑥𝑥=arcsin14.(2)∵sinx=140,x∈[0,π],∴x为第一或第二象限角,且sinx=sin(π-x)=14.∴在[0,π]上符合条件的角有x=arcsin14或x=π-arcsin14,因此x的取值集合为𝑥𝑥=arcsin14或x=π-arcsin14.(3)当x∈R时,x的取值集合为xx=2kπ+arcsin14,k∈Z或x=2kπ+π-arcsin14,k∈Z,即xx=kπ+(-1)karcsin14,k∈Z.-13-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知余弦值求角例2已知cosx=-.(1)若x∈[0,π],求x;(2)若x∈[0,2π],求x.分析借助余弦函数的图像及所给角的范围求解即可.12-14-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)适合cosx=12的锐角为π3,因为cosx=-120,x∈[0,π],所以角x为钝角.又cosπ-π3=-cosπ3=-12,所以x=π-π3=2π3.(2)适合cosx=12的锐角为π3,因为cosx=-120,x∈[0,2π],所以角x为第二象限的角或第三象限的角.又cosπ-π3=cosπ+π3=-cosπ3=-12.所以x=π-π3=2π3或x=π+π3=4π3.故适合cosx=-12,x∈[0,2π]的角x为2π3或4π3.-15-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知余弦值求角的解题策略cosx=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccosa,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得{x|x=2kπ±arccosa,k∈Z}.-16-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知cosx=-0.345.(1)当x∈[0,π]时,求x;(2)当x∈R时,求x的取值集合.解(1)∵cosx=-0.345,且x∈[0,π],∴x=arccos(-0.345)=π-arccos0.345.(2)当x∈R时,先求出[0,2π]上的解.∵cosx=-0.345,∴x是第二或第三象限的角,由(1)知x1=π-arccos0.345为第二象限的角,∵cos(π+arccos0.345)=-0.345,且π+arccos0.345∈,∴x2=π+arccos0.345,因此当x=2kπ+x1或2kπ+x2,k∈Z时,cosx=-0.345,即所求x的集合为{x|x=2kπ±arccos(-0.345),k∈Z}.π,3π2-17-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知正切值求角例3已知tanx=-3.(1)当x∈-π2,π2时,求角x的值;(2)当x为三角形的一个内角时,求角x的值;(3)当x∈R时,求角x的值.分析先求出满足tanα=3的锐角α,再由诱导公式转换得出.-18-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解令tanα=3,得锐角α=arctan3=π3.(1)因为tanx=-30,x∈-π2,π2,所以x∈-π2,0,可得x=-α=-π3.(2)因为tanx=-30,且x为三角形内角,所以x∈π2,π,可得x=π-π3=2π3.(3)因为tanx=-30,x∈R.所以x在第二象限或第四象限,所以x=-α+2kπ=-π3+2kπ(k∈Z)或x=π-α+2kπ=π-π3+2kπ(k∈Z).所以x=2kπ-π3(k∈Z)或x=2kπ+2π3(k∈Z),因此x=kπ-π3(k∈Z).-19-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟对于已知正切值求角有如下规律:tanx=a(a∈R)x∈-π2,π2x∈[0,2π]x=arctana0≤aa0x1=arctana,x2=π+arctanax1=π+arctana,x2=2π+arctana-20-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知tanx=2,且x∈[3π,4π],求x.(用符号表示)解∵3π≤x≤4π,∴x-3π=arctan2,得x=3π+arctan2.-21-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知三角函数值求角的方法三角函数中求角的问题是一个综合性问题.如果已知一个角的三角函数值,求这个角,我们可以按照“已知三角函数值求角”的步骤来求.已知三角函数值求角的步骤如下:(1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限(或终边在哪条坐标轴上);(2)若函数值为正数,先求出对应锐角α,若函数值为负数,先求出与其绝对值对应的锐角α;(3)根据角所在象限,由诱导公式得出0~2π间的角.如果适合已知条件的角在第一象限,则它是α;如果适合已知条件的角在第二象限,则它是π-α;如果适合已知条件的角在第三、第四象限,则它分别是π+α和2π-α;(4)如果要求适合条件的所有角,则利用终边相同的角的表达式来写出.-22-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例已知A,B为△ABC的两个内角,且满足sinA=2cosB,tanA=3cos𝐵sin𝐵,求△ABC三个内角的度数.解∵tanA=sin𝐴cos𝐴=3cos𝐵sin𝐵,∴将sinA=2cosB代入,有2cos𝐵cos𝐴=3cos𝐵sin𝐵.若cosB=0,则sinA=0,而A,B∈(0,π),此时无解.∴cosB≠0,可得cosA=23sinB.由sinA=2cosB及cosA=23sinB,平方后相加得2cos2B+23sin2B=1,即sin2B=34,∴sinB=±32.∵0Bπ,∴sinB=32,可得B=π3或B=2π3.当B=π3时,sinA=2cosπ3=22,∴A=π4或A=3π4(舍去).∴C=5π12.当B=2π3时,sinA=2cos2π3=-22,与0Aπ矛盾,舍去.故A=π4,B=π3,C=5π12.-23-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛在解决与三角形有关的问题时一定要注意两个隐含条件:一是A+B+C=π,二是三角形内角范围为(0,π).-24-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.arcsin32-arccos-12arctan(-3)的值等于()A.12B.0C.1D.-12解析因为arcsin32=π3,arccos-12=2π3,arctan(-3)=-π3,所以原式=π3-2π3-π3=1.答案C-25-7.3.5已知三角函数值求角课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.(多选)若sinx=13(x∈[0,2π)),则x=()A.arcsin13B.π-arcsin13C.π6D