2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件813向量数量积的坐标运算

-1-8.1.3向量数量积的坐标运算-2-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算.2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相关问题.思维脉络-3-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨“我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,飞过绝望.不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节课我们来学习平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示,它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把定性研究推向定量研究.-4-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:向量数量积的坐标表示1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,从而a·b=x1x2+y1y2.2.当a=(x1,y1),b=(x2,y2)都不是零向量时,因为|a|2=a·a=𝑥12+𝑦12,|b|2=b·b=𝑥22+𝑦22,所以cosa,b=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2𝑥12+𝑦12𝑥22+𝑦22.3.在平面直角坐标系中,如果A(x1,y1),B(x2,y2),则𝐴𝐵=(x2-x1,y2-y1),从而𝐴𝐵·𝐴𝐵=(x2-x1)2+(y2-y1)2,因此|𝐴𝐵|=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2.4.a⊥b的充要条件是a·b=0,因此a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.-5-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析(1)公式a·b=|a||b|cosa,b与a·b=x1x2+y1y2都是求两向量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cosa,b求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.(2)当x1x2+y1y20时,θ∈π2,π;当x1x2+y1y20时,θ∈0,π2;当x1x2+y1y2=0时,θ=π2.因此可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角形的形状等.-6-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?提示公式的特点是对应坐标相乘后再求和,在解题时要注意坐标的顺序.微练习已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,a,b.解∵a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|=32+(-1)2=10,|b|=12+(-2)2=5,cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=510×5=12=22,又a,b∈[0°,180°],∴a,b=45°.-7-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量数量积的坐标运算例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).(1)求(a+b)2;(2)求(a+b)·(a-b).分析利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.-8-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.-9-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟向量数量积运算的途径及注意点(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解.-10-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c.解设向量c=(x,y),则3𝑥-𝑦=-1,𝑥-2𝑦=3,解得𝑥=-1,𝑦=-2,故c=(-1,-2).-11-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量数量积解决长度和夹角问题例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角.解∵a=(3,-4),b=(2,x),a∥b,∴3x=2×(-4),解得x=-83.又c=(2,y),a⊥c,∴3×2-4y=0,解得y=32,则b=2,-83,c=2,32,∴b·c=2×2-83×32=0,即b⊥c,∴b,c=90°.-12-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.(3)求夹角的余弦值cosθ.(4)求角.由向量夹角的范围及cosθ求θ的值.(2)求模.利用|a|=𝑥2+𝑦2计算两向量的模.-13-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测例3已知向量a=(-2,-1),a·b=10,|a-b|=5,则|b|=()A.25B.210C.20D.40解析设b=(x,y),由a=(-2,-1),a·b=10,可得-2x-y=10.①a-b=(-2-x,-1-y),所以|a-b|=(-2-𝑥)2+(-1-𝑦)2=5.②由①②可得x=-4,y=-2.所以b=(-4,-2),|b|=(-4)2+(-2)2=25.答案A-14-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1在△ABC中,𝐴𝐵=(2,3),𝐴𝐶=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.解当A=90°时,𝐴𝐵·𝐴𝐶=0,所以2×1+3×k=0.所以k=-23.当B=90°时,𝐴𝐵·𝐵𝐶=0,𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=(1-2,k-3)=(-1,k-3),所以2×(-1)+3×(k-3)=0.所以k=113.当C=90°时,𝐴𝐶·𝐵𝐶=0,所以-1+k(k-3)=0,所以k=3±132.因此,当k=-23或k=113或k=3±132时,△ABC的一个内角为直角.-15-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量数量积的坐标运算求解几何问题例4已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF.分析建立平面直角坐标系,求𝐵𝐸和𝐶𝐹的坐标,计算𝐵𝐸·𝐶𝐹=0.证明以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).因为𝐵𝐸=(-1,2),𝐶𝐹=(-2,-1),所以𝐵𝐸·𝐶𝐹=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,所以𝐵𝐸⊥𝐶𝐹,即BE⊥CF.-16-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟向量法证明平面几何中BE⊥CF的方法(方法一)(1)选取一组向量作基底;(2)用基底表示𝐴𝐵和𝐶𝐷;(3)证明𝐵𝐸·𝐶𝐹=0;(4)给出几何结论BE⊥CF.(方法二)先求𝐵𝐸,𝐶𝐹的坐标,𝐵𝐸=(x1,y1),𝐶𝐹=(x2,y2),再计算𝐵𝐸·𝐶𝐹的值为0,从而得到几何结论BE⊥CF.-17-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:𝐴𝐵⊥𝐴𝐷;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求cos𝐴𝐶,𝐵𝐷.-18-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴𝐴𝐵=(1,1),𝐴𝐷=(-3,3).又𝐴𝐵·𝐴𝐷=1×(-3)+1×3=0,∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐷.(2)解∵𝐴𝐵⊥𝐴𝐷,四边形ABCD为矩形,∴𝐴𝐵=𝐷𝐶.设点C坐标为(x,y),则(1,1)=(x+1,y-4).∴𝑥+1=1,𝑦-4=1,得𝑥=0,𝑦=5.∴C点坐标为(0,5).∵𝐴𝐶=(-2,4),𝐵𝐷=(-4,2),∴𝐴𝐶·𝐵𝐷=8+8=16,|𝐴𝐶|=25,|𝐵𝐷|=25.则cos𝐴𝐶,𝐵𝐷=𝐴𝐶·𝐵𝐷|𝐴𝐶||𝐵𝐷|=1620=45.-19-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量中的数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:(1)向量的几何表示关注方向.(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.-20-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,P是△ABC所在平面上的任意一点,则𝑃𝐴·𝑃𝐵+𝑃𝐴·𝑃𝐶的最小值为()A.1B.2C.-2D.-1-21-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).设点P的坐标为(x,y),则𝑃𝐴=(-x,2-y),𝑃𝑂=(-x,-y),故𝑃𝐴·𝑃𝐵+𝑃𝐴·𝑃𝐶=𝑃𝐴·(𝑃𝐵+𝑃𝐶)=2𝑃𝐴·𝑃𝑂=2(x2+y2-2y)=2[x2+(y-1)2]-2≥-2,当且仅当x=0,y=1时等号成立.所以𝑃𝐴·𝑃𝐵+𝑃𝐴·𝑃𝐶的最小值为-2.答案C方法点睛建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解.-22-8.1.3向量数量积的坐标运算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养