2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件824第2课时三角函数的积化和差与和差化积

-1-第2课时三角函数的积化和差与和差化积-2-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.思维脉络-3-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨求tan10°+1cos50°的值,通常可能这样计算:tan10°+1cos50°=sin10°cos10°+1cos50°=sin10°cos50°+cos10°cos10°cos50°,到这一步许多人就束手无策了.对此,你有好的计算方法吗?考虑到10°+50°=60°是特殊角,正、余弦值可求.只要把sin10°cos50°化为两项之和或两项之差就能达到化简的目的(分母同理),这一变形式就是正、余弦函数积化和差的公式,是本节的重要公式.-4-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:积化和差公式cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)].-5-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.牢记两组公式的区别与联系,才能正确使用.在运用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.根据实际问题选用公式时,应考虑以下几个方面:(1)运用公式之后,能否出现特殊角.(2)运用公式之后,能否提公因式,能否约分,能否合并或者消项.(3)运用公式之后,能否使三角函数的结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值应用公式,如然后化积.12-cosα,应先把12转化为cos𝜋3,使其变为cos𝜋3-cosα,-6-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考积化和差公式有何特点?提示积化和差公式中,同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.微练习计算:(1)sin52.5°·cos7.5°=;(2)sinαsin3α=.答案(1)3+24(2)12cos2α-12cos4α-7-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:和差化积公式cosx+cosy=2cosx+y2cosx-y2;cosx-cosy=-2sinx+y2sinx-y2;sinx+siny=2sinx+y2cosx-y2;sinx-siny=2cosx+y2sinx-y2.-8-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析利用和差化积及积化和差公式进行转化求值时,要注意:(1)积化和差时,可以是同名函数的乘积,也可以是异名函数的乘积,而和差化积时,必须是同名函数的和差.(2)和差化积时,两函数值的系数是绝对值相同,注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧.三角恒等式的证明主要从两个方面入手:(1)看角,分析角的差异,消除差异,向所求结果中的角转化;(2)看函数,统一函数,向所求结果中的函数转化.-9-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考和差化积公式有何特点?提示余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异名三角函数之积;等式左边为单角x与y,等式右边为x+y2与x-y2的形式.微练习cosx-12=.答案-2sinx2+𝜋6sinx2-𝜋6-10-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测三角函数式的化简与求值例11sin40°+cos80°sin80°=.分析利用积化和差与和差化积公式化简、求值.解析原式=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+2cos60°cos20°sin80°=cos40°+cos20°sin80°=2cos30°cos10°sin80°=2cos30°=3.答案3-11-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三角函数化简与求值的策略当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.-12-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究若把本例改为:sin20°cos70°+sin10°sin50°,试求值.解原式=12(sin90°-sin50°)+12(cos40°-cos60°)=12−12sin50°+12cos40°-14=14.-13-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明恒等式例2求证:sinαsin(60°+α)sin(60°-α)=14sin3α.分析根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.证明左边=sinα·-12(cos120°-cos2α)=14sinα+12sinαcos2α=14sinα+14[sin3α+sin(-α)]=14sinα+14sin3α-14sinα=14sin3α.反思感悟三角恒等式证明的思路当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.-14-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,求证:(2cos2A+1)2=a2+b2.证明由题意知(sinA+sin5A)+sin3A=2sin3Acos2A+sin3A=a,(cosA+cos5A)+cos3A=2cos3Acos2A+cos3A=b,则sin3A(2cos2A+1)=a,①cos3A(2cos2A+1)=b.②两式平方相加,得(2cos2A+1)2=a2+b2.-15-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测与三角函数有关的综合问题例3求函数y=sinxsinx-sin𝑥+π3的最值.分析先将解析式化简,然后求解.-16-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解y=sinxsin𝑥-sin𝑥+π3=sinx2cos𝑥+π6sin-π6=-sinxcos𝑥+π6=-12sin2𝑥+π6+sin-π6=-12sin2𝑥+π6+14,因为sin2𝑥+π6∈[-1,1],所以当sin2𝑥+π6=-1,即x=kπ-π3,k∈Z时,ymax=34;当sin2𝑥+π6=1,即x=kπ+π6,k∈Z时,ymin=-14.-17-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三角函数综合问题的求解策略求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.-18-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知函数f(x)=cosxcos𝑥-π3.(1)求f2π3的值;(2)求使f(x)14成立的x的取值集合.解f(x)=cosxcos𝑥-π3=12cos2𝑥-π3+cosπ3=12cos2𝑥-π3+14.(1)f2π3=12cos2×2π3-π3+14=-12+14=-14.-19-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)∵f(x)14,∴12cos2𝑥-π3+1414,∴cos2𝑥-π30,于是2kπ+π22x-π32kπ+3π2,k∈Z,解得kπ+5π12xkπ+11π12,k∈Z,故使f(x)14成立的x的取值集合为xkπ+π12xkπ+11π12,k∈Z.-20-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测积化和差、和差化积公式的应用规律(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角.(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名函数之积;等式左边为单角θ与φ,等式右边为𝜃+𝜑2与𝜃-𝜑2的形式.-21-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例求值:cos2π7+cos4π7+cos6π7.解cos2π7+cos4π7+cos6π7=12sin2π72sin2π7·cos2π7+2sin2π7cos4π7+2sin2π7cos6π7=12sin2π7[sin4π7+sin6π7+sin-2π7+sin8π7+sin-4π7]=12sin2π7(sin4π7+sinπ7-sin2π7-sinπ7-sin4π7)=12sin2π7·-sin2π7=-12.方法点睛本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.-22-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.sinπ4+𝛼cosπ4+𝛽化为和差形式为()A.12sin(α+β)+12cos(α-β)B.12cos(α+β)+12sin(α-β)C.12sin(α+β)+12sin(α-β)D.12cos(α+β)+12cos(α-β)答案B-23-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为()A.-12B.12C.32D.22解析原式=cos20°+12+2cos120°cos20°=cos20°+12+2×-12cos20°=12.答案B-24-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.sin15°sin30°sin75°的值是.解析sin15°sin30°sin75°=sin30°(sin15°sin75°)=12·-12[cos(15°+75°)-cos(15°-75°)]=-14(cos90°-cos60°)=-14×0-12=18.答案18-25-第2课时三角函数的积化和差与和差化积课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.sin105°+sin15°=,cos75°