2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件711角的推广

-1-7.1.1角的推广-2-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.掌握用“旋转”定义角,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义.2.掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.3.体会运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念.思维脉络-3-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨在跳水、体操、花样滑冰比赛中,常常听到“转体三周”的说法,那么转体三周运动员要转体多少度呢?显然转过的角是大于360°的角,我们如何认识这样的角呢?这样的角不再局限于0°~360°的范围内,可以是任意的大小,还可以有正负,这就是本节要学习的角的概念的推广.-4-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:任意角1.角的概念:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形.2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类类型定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角当射线没有旋转时,也把它看成一个角,称为零角-5-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考始边与终边重合的角一定是零角吗?提示不一定.只有始边没有旋转时才是零角.微练习经过1个小时,时针转过的角度是.答案-30°-6-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:象限角1.象限角将角放在平面直角坐标系中,约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.2.终边相同的角一般地,角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同,这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的整数倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α.-7-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三层含义:①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,当k取正整数时,逆时针旋转;当k取负整数时,顺时针旋转;当k=0时,没有旋转.(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.-8-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微判断(1)钝角是第二象限角.()(2)第二象限角是钝角.()(3)第二象限角大于第一象限角.()答案(1)√(2)×(3)×微练习与-40°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}答案A-9-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测有关角的概念问题例1下列说法正确的是()A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角一定是锐角C.终边相同的角之间相差360°的整数倍D.大于90°的角都是钝角分析根据角的概念、终边相同角的集合等概念解题,特别注意锐角、直角、钝角等特殊的角.解析终边相同的角不一定相等,可能相差k·360°(k∈Z),故A错;因为锐角的集合是{α|0°α90°},而第一象限的角的集合是{α|k·360°αk·360°+90°},故B错;终边相同的角之间相差360°的整数倍,故C正确;钝角的集合是{α|90°α180°},当α180°时,均大于90°,所以大于90°的角不一定都是钝角,故D错.-10-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案C反思感悟判断角的概念问题的关键与技巧(1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.(2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可.-11-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1判断下列说法是否正确:(1)第一象限的角小于第二象限的角;(2)若90°≤α≤180°,则α为第二象限的角.解(1)不正确.如390°角是第一象限的角,120°角是第二象限的角,显然390°120°,所以该说法是错误的.(2)不正确.其中90°,180°角都不是象限角,显然该说法是错误的.-12-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测终边相同的角的问题例2在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中:(1)有几种终边不相同的角?(2)在集合S中有几个在-360°~360°内的角?分析从代数角度看,取k=…,-2,-1,0,1,2,…,可以得α为…,-135°,-45°,45°,135°,225°,…;从图形角度看,是以45°角为基础,依次加上(或减去)90°的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得的各角,如图所示,结合图形求解.-13-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°,225°,315°角终边相同的角.(2)令-360°≤k·90°+45°360°,又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在-360°~360°内的角共有8个.得-92≤k72.-14-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟运用终边相同的角的注意事项所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α(k∈Z)表示,在运用时需注意以下四点:(1)k是整数,这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接.(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.-15-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图所示,写出终边落在直线y=x上的角的集合.解终边落在y=x(x≥0)上的角的集合为S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在y=x(x≤0)上的角的集合为S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是,终边落在直线y=x上的角的集合为S=S1∪S2={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}.因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.3333-16-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测终边相同的角的集合之间的关系例3已知集合A={α|30°+k·180°α80°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°β45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.解因为30°+k·180°α80°+k·180°,k∈Z,所以当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°α80°+n·360°,n∈Z;当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°α260°+n·360°,n∈Z,所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内,集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内.所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.所以A∩B={α|30°+n·360°α45°+n·360°,n∈Z}.-17-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟区域角表示的步骤(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域.(2)确定-360°α360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角.(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用数形结合解题.-18-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究若本例中集合A={α|30°+k·120°α80°+k·120°,k∈Z},求A∩B.解对于集合A,当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°α80°+n·360°.当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°α200°+n·360°.当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°α320°+n·360°.故A∩B={α|-45°+n·360°α-40°+n·360°或30°+n·360°α45°+n·360°,n∈Z}.-19-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测由角α所在的象限判断𝛼𝑛所在象限的方法1.分类讨论法先由角α所在的象限写出角α的范围,进而求出角𝛼𝑛的范围,从而得到角𝛼𝑛所在象限.用此种方法判断角𝛼𝑛所在象限时,需对n的取值(如n为奇数、偶数等)分类讨论.2.等分象限法已知角α所在象限,判断𝛼𝑛所在象限时,先把各象限n等分,再从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数字1,2,3,4,直到将所有区域标完为止,则角α原来是第几象限角,对应的标号所在区域即𝛼𝑛的终边所在的区域.-20-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例已知α是第二象限角,判断角𝛼3的终边位置.解(方法一)由90°+k·360°α180°+k·360°,k∈Z,得30°+k·120°𝛼360°+k·120°,k∈Z.令k=3n,n∈Z,则30°+n·360°𝛼360°+n·360°,可知𝛼3为第一象限角.令k=3n+1,n∈Z,则150°+n·360°𝛼3180°+n·360°,可知𝛼3为第二象限角.令k=3n+2,n∈Z,则270°+n·360°𝛼3300°+n·360°,可知𝛼3为第四象限角.综上知,角𝛼3的终边落在第一、第二或第四象限.-21-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(方法二)如图,先将各象限3等分,然后从x轴正向上方第一个区域起,按逆时针方向在各区域内依次标上1,2,3,4;1,2,3,4;…;依次循环,直到标完所有区域,其中出现数字2的区域即为角𝛼3的终边所在的区域,因此角𝛼3的终边落在第一、第二或第四象限.方法点睛先写出角α的范围,然后利用解不等式得到角𝛼3的范围,最后分类讨论角𝛼3所在的象限,也可以借助图形判断.-22-7.1.1角的推广课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列叙述正确的是()A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小解析90°的角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°的角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.答案B-23-7.1.1角的推广课前篇自主预习课