2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章42421对数运算

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.1对数运算学习目标核心素养1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)2．理解对数的底数和真数的取值范围．(易混点)3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)1．通过对数定义及相关概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过对数性质的学习，培养数学运算的核心素养.情境导学探新知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….问题：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？[提示]2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数．1．对数的定义及相关概念(1)对数的概念在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为__________的对数，记作b＝_______，其中a称为对数的_____，N称为对数的_____．以a为底NlogaN底数真数[拓展]为什么规定a＞0且a≠1呢？(1)若a＜0，则当N为某些值时，b的值不存在．如：b＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，则①当N≠0时，b的值不存在．如log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在．②当N＝0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，则①当N≠1时，b的值不存在．如：log13不存在．②当N＝1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a＞0且a≠1.(2)对数恒等式alogaN＝__.(3)常用对数：以____为底的对数称为常用对数，并把log10N记为______.(4)自然对数：在科学技术中，常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以__为底的对数称为自然对数，并把logeN记为_____.N10lgNelnN思考：如何准确理解指数式与对数式的关系？[提示](1)指数式和对数式的关系如图所示：(2)指数式和对数式各部分的名称：名称式子abN指数式ab＝N底数指数幂对数式logaN＝b底数对数真数2．对数的性质性质1_________没有对数性质21的对数是__，即loga1＝__(a＞0且a≠1)性质3底数的对数是__，即logaa＝__(a＞0且a≠1)负数和零0011[拓展]为什么零和负数没有对数？因为当a＞0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，而a＞0且a≠1时，ab恒大于0，即N＞0，所以零和负数没有对数．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)因为1a＝1，所以log11＝a.()(4)log(－2)(－2)＝1.()(1)×(2)×(3)×(4)×[(1)因为对数的底数a应满足a0且a≠1，所以(1)错；(2)log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)因为对数的底数a应满足a0且a≠1，所以(3)错；(4)因为对数的底数a应满足a0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错．]A[根据指数式与对数式的互化可知x＝lg2化为指数式为10x＝2.]2．把对数式x＝lg2化为指数式为()A．10x＝2B．x10＝2C．x2＝10D．2x＝103[由对数恒等式得，2log23＝3.]3．2log23＝________.2[∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝30＝1，∴x＝2，即x＝2.]4．若log3(log2x)＝0，则x＝________.合作探究释疑难对数的概念【例1】(1)若a2021＝b(a＞0，且a≠1)，则()A．logab＝2021B．logba＝2021C．log2021a＝bD．log2021b＝a(2)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________．(3)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______．[思路探究](1)利用对数定义进行化简．(2)(3)根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．(1)A(2)12，＋∞(3)(2,3)∪(3，＋∞)[(1)由对数定义，可以把a2021＝b化为对数式logab＝2021.(2)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－10，解得x12，所以x的取值范围是12，＋∞.(3)由题意可得x＋20，x－20x－2≠1，解得x2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围．[跟进训练]1．(1)如果a5＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则()A．logab＝5B．loga5＝bC．log5a＝bD．log5b＝a(2)对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是________．(1)A(2)32，2∪(2，＋∞)[(1)据对数定义可知把a5＝b化为对数式为logab＝5.(2)由题意可得x－10，2x－30，2x－3≠1，解得x32，且x≠2，所以实数x的取值范围是32，2∪(2，＋∞)．]指数式与对数式的互化与求值角度一利用指数式与对数式的互化求值【例2】(1)将下列指数式与对数式互化：①log216＝4；②log3x＝6；③43＝64；④3－2＝19；⑤lg1000＝3.(2)设a＝log310，b＝log37，求3a－b的值．[思路探究](1)根据ax＝N⇔logaN＝x(a0且a≠1，N0)求解；(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中．[解](1)①因为log216＝4，所以24＝16.②因为log3x＝6，所以(3)6＝x.③因为43＝64，所以log464＝3.④因为3－2＝19，所以log319＝－2.⑤因为lg1000＝3，所以103＝1000.(2)因为a＝log310，b＝log37，所以3a＝10,3b＝7.则3a－b＝3a3b＝107.1．指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．2．互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．[跟进训练]2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式：①10－3＝11000；②ln2＝x.(2)已知a0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．[解](1)①因为10－3＝11000，所以lg11000＝－3.②因为ln2＝x，所以ex＝2.(2)根据条件loga3＝n及对数的定义可得an＝3，由loga2＝m及对数的定义可得am＝2，所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.角度二两个特殊对数值的应用【例3】已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．[思路探究]利用loga1＝0，logaa＝1求出x，y.[解]因为log2(log3(log4x))＝0，所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，所以x＝43＝64，同理求得y＝16，所以x＋y＝80.对数性质在求值中的应用此类题目一般都有多层，解题方法是利用loga1＝0，logaa＝1从外向里逐层求值．[跟进训练]3．求下列各式中x的值：(1)x＝16；(2)log8x＝－13；(3)log2(log4x)＝0；(4)log(2－1)13＋22＝x.[解](1)∵x＝16，∴12x＝16；即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.(2)∵log8x＝－13，∴x＝8＝138＝12.(3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.(4)∵log(2－1)13＋22＝x，∴(2－1)x＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1，∴x＝1.对数的性质与对数恒等式[探究问题]1．是不是所有的实数都有对数？[提示]负数和0没有对数．2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？[提示]因为a0＝1，所以loga1＝0；因为a1＝a，所以logaa＝1.3．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a0且a≠1，N0)吗？[提示]因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.【例4】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln6)＝()A．－ln6＋6B．ln6－6C．ln6＋6D．－ln6－6(2)有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝100；④若e＝lnx，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④[思路探究](1)根据奇偶性先将f(ln6)化为－f(－ln6)再代入求解．(2)根据对数的性质逐一判断即可．(1)C(2)C[(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln6)＝－f(－ln6)＝－(－ln6－eln6)＝－(－ln6－6)＝ln6＋6.(2)因为lg10＝1，所以lg(lg10)＝0，故①正确；因为lne＝1，所以ln(lne)＝0，故②正确；由10＝lgx，得1010＝x，故x≠100，故③错误；由e＝lnx，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．对数恒等式alogaN＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解：－1233[log222＝log22＝－12，2log23＋log43＝2log23·2log43＝3·(4log43)＝33.][跟进训练]4．计算：log222＝________，2log23＋log43＝________.5．已知log5(log3(log2a))＝0，计算36log6a的值．[解]因为log5(log3(log2a))＝0，所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3.所以a＝23＝8.所以原式＝(62)log6a＝6log6a2＝a2＝64.课堂小结提素养一、知识总结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.2．在关系式ax＝N(a＞0且a≠1，N＞0)中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．二、方法归纳1．根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．2．利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．三、常见误区易忽视对数式中底数与真数的范围．1．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a＞5或a＜2B．2＜a＜3或3＜a＜5C．2＜a＜5D．3＜a＜4B[由题意得a－2＞0，a－2≠1，5－a＞0，∴2＜a＜5且a≠3，故选B.]92．将13－2＝9写成对数式，正确的是()A．log913＝－2B．9＝－2C．(－2)＝9D．log9(－2)＝13B[将13－2＝9写成对数式为9＝－2，故选B.]B[由指数式化为对数式可知x＝log