2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第6章62623平面向量的坐标及其运算

第六章平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.3平面向量的坐标及其运算学习目标核心素养1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)1．通过学习向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．2．通过向量的直角坐标运算，提升数学运算的核心素养.情境导学探新知通过上节课的学习我们知道，以单位向量e为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考：问题1：平面直角坐标系的基底应满足什么条件？[提示]基底{i，j}中，i，j为单位向量且相互垂直．问题2：在直角坐标系中(如图)，向量OA→应怎样用基底表示？[提示]OA→＝xi＋yj.问题3：若点A的坐标为(x，y)，则向量OA→的坐标与(x，y)有什么关系？[提示]OA→的坐标也是(x，y)．1．平面向量的正交分解2．向量的坐标(1)一般地，给定平面内两个_________的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝_______．(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则OA→＝_______．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．相互垂直(x，y)(x，y)思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？[提示]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．3．向量的运算与坐标关系设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a＝b的充要条件是_______，且_______.(2)a＋b＝__________________．(3)ua＋vb＝__________________．(4)ua－vb＝____________________．x1＝x2y1＝y2(x1＋x2，y1＋y2)(ux1＋vx2，uy1＋vy2)(ux1－vx2，uy1－vy2)[拓展](1)区别AB→的坐标与a－b的坐标：AB→的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减．(2)如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．4．平面上两点间距离公式与中点坐标公式平面上两点A(x1，y1)B(x2，y2)间的距离公式AB＝|AB→|＝____________________，AB的中点坐标公式x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.x2－x12＋y2－y125．向量平行的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔___________.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔______.x2y1＝x1y2x1x2＝y1y21．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)同向．()(1)×(2)√(3)×(4)×[对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．(2)根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．(3)根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．(4)因为(－4，－6)＝－2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．]B[∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．]2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定A[设点B的坐标为(x，y)，由AB→＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)＝(3,7)，得B(4,4)．]3．已知点A(1，－3)，AB→的坐标为(3,7)，则点B的坐标为()A．(4,4)B．(－2,4)C．(2,10)D．(－2，－10)－1[易得AB→＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等得x＋3＝2，x2－3x－4＝0，解得x＝－1.]4．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.合作探究释疑难平面向量的坐标表示【例1】(1)如图所示，若向量e1，e2是一组单位正交向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为()A．(3,4)B．(2,4)C．(3,4)或(4,3)D．(4,2)或(2,4)(2)如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b.四边形OABC为平行四边形．①求向量a，b的坐标；②求向量BA→的坐标；③求点B的坐标．[思路探究](1)借助平面向量的正交分解直接求解．(2)①由OA＝4，∠AOx＝45°，结合三角函数，求出点A的坐标，从而求出a的坐标，再由∠OAB＝105°，得出∠COy，进而得点C的坐标，根据OC→＝AB→得出b的坐标．②由①中b的坐标及b与BA→的关系得出BA→的坐标．③可借助OB→＝OA→＋AB→求出点B的坐标．(1)A[以向量a，b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，所以2a＝(2,1)，b＝(1,3)，所以2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A.](2)[解]①作AM⊥x轴于点M(图略)，则OM＝OA·cos45°＝4×22＝22，AM＝OA·sin45°＝4×22＝22，所以A(22，22)．故a＝(22，22)．因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，所以C－32，332，所以AB→＝OC→＝－32，332，即b＝－32，332.②由①知BA→＝－AB→＝－b＝32，－332.③OB→＝OA→＋AB→＝(22，22)＋－32，332＝22－32，22＋332，所以点B的坐标为22－32，22＋332.求向量坐标的三个步骤[跟进训练]1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．[解]设a＝(x1，y1)，则x1＝2·cos45°＝2，y1＝2·sin45°＝2，∴a＝(2，2)．设b＝(x2，y2)，则x2＝3·cos120°＝－32，y2＝3·sin120°＝332，∴b＝－32，332.设c＝(x3，y3)，x3＝4·cos330°＝23，y3＝4·sin330°＝－2，∴c＝(23，－2).平面向量的坐标运算【例2】(1)设AB→＝(2,3)，BC→＝(m，n)，CD→＝(－1,4)，则DA→＝()A．(1＋m,7＋n)B．(－1－m，－7－n)C．(1－m,7－n)D．(－1＋m，－7＋n)(2)已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量12AB→的坐标是()A.－4，12B.4，－12C.－1，－32D.(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB→＋2BC→，BC→－12AC→的坐标．[思路探究](1)可利用向量加法的三角形法则将DA→分解为DC→＋CB→＋BA→来求解．(2)可借助AB→＝OB→－OA→来求12AB→坐标．(3)可利用AB→＝(xB－xA，yB－yA)来求解．(1)B(2)A[(1)DA→＝DC→＋CB→＋BA→＝－CD→－BC→－AB→＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)＝(－1－m，－7－n)．(2)12AB→＝12(OB→－OA→)＝12－5，－1－3，－2＝12(－8,1)＝－4，12.](3)[解]∵AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]2．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.[解](1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23.向量坐标运算的综合应用[探究问题]1．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP→＝OA→＋tAB→.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[提示]∵OP→＝OA→＋tAB→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t0，2＋3t0，∴－23t－13.2．对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．[提示]∵OA→＝(1,2)，PB→＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→，∴3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．3．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？[提示]当ABCD为平行四边形时，则AC→＝AB→＋AD→＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．【例3】(1)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时，①点P在一、三象限角平分线上？②点P在第三象限内？(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，求λ的值．[思路探究](1)先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解．(2)根据向量坐标的条件关系求出参数．[解](1)设点P的坐标为(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，AB→＋λAC→＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵AP→＝AB→＋λAC→，∴x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ，则x＝5＋5λ，y＝4＋7λ.①若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，即λ＝12时，点P在一、三象限角平分线上．②若点P在第三象限内，则5＋5λ0，4＋7λ0，∴λ－1.即λ－1时，点P在第三象限内．(2)a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ