2021学年新教材数学人教B版必修第二册44幂函数学案Word版含答案

4.4幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0α1时,图像上凸,当α1时,图像.(3)若α0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=();③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)-+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(√),则k+α等于()A.B.1C.D.2(2)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于()A.2B.1C.D.0例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)()-和-.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)()与();(2)(-)-与(-)-.例3讨论函数y=的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是()A.当α=0时,函数y=xα的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=xα的图像关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限2.下列不等式成立的是()A.()-()-B.()()C.()()D.-()3.函数y=x-3在区间[-4,-2]上的最小值是.4.若幂函数f()=(m2-m-1)--在(0,+∞)上是减函数,则实数m=.参考答案自主预习1.y=xα底数指数2.(1)(1,1)(2)(0,0),(1,1)递增下凸(3)(1,1)递减(4)原点(0,0)y轴(5)四课堂探究例1(1)B解析:幂函数有①⑥两个.(2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{--,解得{-或{所以m=-3或1,n=.跟踪训练1(1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f()=√,所以()=√,解得α=,从而k+α=.(2)A解析:因为f()=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2(1)考查幂函数y=x1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.32.5,所以2.31.12.51.1.(2)考查幂函数y=-,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a2+2≥2,所以(a2+2)-≤-.跟踪训练2解:(1)因为幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又,所以()().(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又--,所以(-)-(-)-.例3因为y==√,所以不难看出函数的定义域是实数集R.记f()=,则f(-x)=(-x)=√(-)=√==f(x),所以函数y=是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=在x∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.核心素养专练1.D2.A3.-解析:因为函数y=x-3=在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,ymin=(-2)-3=-.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=ab(a0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-④y=⑤y=-⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)-+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-,-.变式训练1比较下列各组的大小.(1)--和-();(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1),(3.8)-和(-).例3讨论函数y=的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=;(2)y=-;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f()的值为()A.B.9C.D.33.已知a=,b=,c=2,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab4.若幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(),则α=,若f(a+1)f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3(3)f(x)=x3+;(4)f(x)=2x4+-.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=-,(2)y=,y=.参考答案自主预习略课堂探究1.略2.略3.例1m=-3,n=例2(1)2.31.12.51.1(2)(a2+2)-≤-变式训练1(1)---()(2)(-2)-3(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1(1.2)-0.1(4)(-1.9)()-(4.1)例3通过列表描点,可以先作出y=在x∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2(1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减.(2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=或α=(2)2或6.dbca7.-3(-∞,-1)∪()8.(1){x|x≠0},偶函数(2)R,非奇非偶函数(3)R,奇函数(4){x|x0},非奇非偶函数9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1).(2)如果α0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数.(3)如果α0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.