2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练43指数函数与对数函数的关系Word版含解析

4.3指数函数与对数函数的关系必备知识基础练进阶训练第一层知识点一反函数的概念1.已知函数y＝ax与y＝logax，其中a0且a≠1，下列说法不正确的是()A．两者的图像关于直线y＝x对称B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C．两函数在各自的定义域内增减性相同D．y＝ax的图像经过平行移动可得到y＝logax的图像2．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为()A．y＝2lnx(x0)B．y＝ln(2x)(x0)C．y＝12lnx(x0)D．y＝12ln(2x)(x0)3．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x3)，则它的反函数是()A．y＝3－3x(x≥0)B．y＝3＋3x(x≤1)C．y＝3＋3x(x≥0)D．y＝3－3x(x≤1)知识点二反函数的性质4.如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是()5．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________.6．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________．7．已知函数f(x)＝log2(1－2x)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．8．已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2018)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．已知y＝14x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－12，则x0等于()A．－2B．－1C．2D.122．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是()A．y＝1＋log2x(x0)B．y＝log2(x－1)(x1)C．y＝－1＋log2x(x0)D．y＝log2(x＋1)(x－1)3.当0a1时，方程logax＝ax的实数解()A．有且只有一个B．可能无解C．可能有3个D．一定有3个4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于()A．3B．4C．5D．65．已知a0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是()6．(易错题)已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤12的解集是()A.－1，12B.－2，12C．[－2,0)∪12，1D．[－1,0]∪12，1二、填空题7．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．8．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，则a＝________，b＝________.9．(探究题)已知函数f(x)与函数g(x)＝log12x的图像关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调递增区间是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)函数y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是()A．[－1,1]B．(－∞，0]C．[－2,4]D．[2,4]2．函数y＝x＋1，x＜0，ex，x≥0的反函数是________．3．(学科素养—数学抽象)已知f(x)＝a·2x－12x＋1(a∈R)，f(0)＝0.(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log21＋xk.4．3指数函数与对数函数的关系必备知识基础练1．解析：由反函数的定义可知ABC均正确，D错误．答案：D2．解析：y＝e2x0,2x＝lny，x＝12lny，∴y＝e2x的反函数为y＝12lnx，x0.答案：C3．解析：∵0≤x3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.答案：D4．解析：由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C.答案：C5．解析：由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2.答案：26．解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，∴y＝f(x)的图像过点(0,2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.答案：f(x)＝2x＋17．解析：(1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x0，即2x1.故x0，此时01－2x1，∴f(x)＝log2(1－2x)0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．8．解析：∵g(x)的图像过定点(1,2018)，∴f(x＋1)的图像过定点(2018,1)．又∵f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2019,1)．又∵f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2019)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2019)．答案：(0,2019)易错分析：本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．关键能力综合练1．解析：∵y＝14x的反函数是f(x)＝log14x，∴f(x0)＝log14x0＝－12.∴x0＝141-2＝1221-2＝2.答案：C2．解析：由y＝2x＋1⇒x＋1＝log2y⇒x＝－1＋log2y，又因原函数的值域{y|y0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x0)．答案：C3．解析：考虑函数y＝logax与函数y＝ax的图像公共点，易知B，D两项不对．又y＝log116x和y＝116x的图像除了在直线y＝x上存在一个公共点外，还存在12，14和14，12两个公共点．答案：C4．解析：f(x)＝loga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)图像过点(2,1)，∴f－1(x)图像过点(1,2)，∴a－b＝2，a2－b＝8，解得a＝3，b＝1或a＝－2，b＝－4，又a0，∴a＝3，b＝1，∴a＋b＝4.答案：B5．解析：解法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性来看，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.∴应选B.解法二：若0a1，则曲线y＝ax下降且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．若a1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．答案：B6．解析：由题意，可得－1≤f－1(x)≤12的解集即为f(x)在－1，12上的值域．当－1≤x＜0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，当0≤x≤12时，由题图可知f(x)∈12，1.故不等式－1≤f－1(x)≤12的解集为[－2,0)∪12，1.答案：C7．解析：∵x≥1，∴log2x≥0，∴log2x＋3≥3，∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．解析：由y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，说明它们互为反函数．又由y＝ax＋2，解得x＝y－2a(a≠0)，所以其反函数为y＝1ax－2a，与函数y＝3x＋b表示同一函数，则有1a＝3且－2a＝b，解得a＝13，b＝－6.答案：13－69．解析：由题意得f(x)＝12x，∴f(x2＋2x)＝1222xx＋，∵f(x)在R上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t＝x2＋2x的单调递减区间，即(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]10．解析：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x0，即x2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.(2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R且x1x2.∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－a2x－2＋a1x＝a1x－a2x，∵a1，x1x2，∴a1xa2x，即a1x－a2x0，∴f－1(x2)f－1(x1)，∴y＝f－1(x)在R上是减函数．学科素养升级练1．解析：函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y＝2|x|在[－1,1],[－2,4]上不单调．故选AC.答案：AC2．解析：当x0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x1；当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝lnx，x≥1.故原函数的反函数为y＝x－1，x＜1，lnx，x≥1.答案：y＝x－1，x＜1，lnx，x≥13．解析：(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝2x－12x＋1.因为f(x)＋f(－x)＝2x－12x＋1＋2－x－12－x＋1＝2x－12x＋1＋1－2x1＋2x＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．(2)因为f(x)＝y＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，所以2x＝1＋y1－y(－1＜y＜1)，所以f－1(x)＝log21＋x1－x(－1＜x＜1)．(3)因为f－1(x)＞log21＋xk，即log21＋x1－x＞log21＋xk，所以1＋x1－x＞1＋xk，－1＜x＜1，所以x＞1－k，－1＜x＜1，当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．