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当前位置:首页 > 临时分类 > 新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件623向量的数乘运算
第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)素养目标学法指导1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(直观想象)2.理解并掌握向量数乘的运算律,会进行向量的数乘运算.(数学运算)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(逻辑推理)1.要进一步深化类比实数的乘法运算,加强对向量的数乘运算的理解,并且感受两者的差异.2.类比三角函数伸缩变换的特征感受向量的数乘运算中向量伸缩的含义,进一步理解两个平面向量共线的含义.3.进一步深化对线性运算几何意义的理解,把握平面几何中位置关系与向量共线之间的联系.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)向量的数乘运算知识点11.向量的数乘的定义一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_______,这种运算叫做向量的_______,记作λa,它的长度与方向规定如下:(1)|λa|=_________.(2)λa(a≠0)的方向当λ0时,与a方向_______;当λ0时,与a方向_______.由(1)知,当λ=0时,λa=0,由(1)(2)知,(-1)a=-a.向量数乘|λ||a|相同相反返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)2.向量数乘的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=________.(2)(λ+μ)a=_________.(3)λ(a+b)=_________.特别地,我们有(-λ)a=-λa=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.(λμ)aλa+μaλa+λb返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=_____________.λμ1a±λμ2b返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[知识解读](1)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍.(2)λ是实数,a是向量,它们的积λa仍然是向量.实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如λ+a,λ-a均没有意义.(3)注意向量数乘的特殊情况:①若λ=0,则λa=0;②若a=0,则λa=0.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使________.向量共线定理知识点2b=λa返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[知识解读]关于共线向量定理的说明:(1)定理中,向量a为非零向量,即定理不包含0与0共线的情况.(2)条件a≠0是必须的.否则当a=0,b≠0时,虽然b与a共线,但不存在实数λ,使得b=λa;当a=0,b=0时,λ可以是任意实数.(3)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.(4)若b=λa(λ∈R),则a与b共线.(5)由本性质定理知,若向量AB→=λAC→,则AB→,AC→共线.又AB→,AC→有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[分析]运用向量数乘的运算律求解.题型探究题型一向量的线性运算典例1计算:(1)4(a+b)-3(a-b)-8a;(2)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);(3)23[(4a-3b)+13b-14(6a-7b)].返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[归纳提升]向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.[解析](1)原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.(2)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.(3)原式=23(4a-3b+13b-32a+74b)=23(52a-1112b)=53a-1118b.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)【对点练习】❶(1)下列各式计算正确的有()①(-7)6a=-42a;②7(a+b)-8b=7a+15b;③a-2b+a+2b=2a;④4(2a+b)=8a+4b.A.1个B.2个C.3个D.4个(2)若a=b+c,化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)的结果为()A.-aB.-4bC.cD.a-bCA返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[解析](1)①③④正确,②错,7(a+b)-8b=7a+7b-8b=7a-b.(2)3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=(3-2)a+(6-6-2)b-2c=a-2(b+c)=a-2a=-a.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)题型二用向量的线性运算表示未知向量典例2如图所示,四边形OADB是以向量OA→=a,OB→=b为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b表示OM→、ON→、MN→.[分析]用a,b表示BM→→表示OM→,ON→→MN→=ON→-OM→返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[归纳提升]解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内,用减法法则表示,然后逐步用已知向量代换表示.[解析]BM→=13BC→=16BA→=16(OA→-OB→)=16(a-b),∴OM→=OB→+BM→=b+16a-16b=16a+56b.∵CN→=13CD→=16OD→,∴ON→=OC→+CN→=12OD→+16OD→=23OD→=23(OA→+OB→)=23a+23b,MN→=ON→-OM→=23(a+b)-16a-56b=12a-16b.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)【对点练习】❷(1)在△ABC中,若点D满足BD→=2DC→,则AD→等于()A.13AC→+23AB→B.53AB→-23AC→C.23AC→-13AB→D.23AC→+13AB→D返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)(2)如图所示,已知在△ABC中,AD→=23AB→,DE∥BC,DE交AC于点E,BC边上的中线AM交DE于点N,设AB→=a,AC→=b,用a,b表示向量AE→,DE→,AM→,AN→.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[解析](1)如图所示,由题意可得AD→=AB→+BD→=AB→+23BC→=AB→+23(AC→-AB→)=13AB→+23AC→.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)(2)∵DE∥BC,AD→=23AB→=23a,∴AE→=23AC→=23b,∵△ADE∽△ABC,∴DE→=23BC→=23(b-a).∵△ADN∽△ABM,且AD→=23AB→,∴AN→=23AM→.又∵AM→=AB→+BM→=a+12BC→=a+12(b-a)=a+b2,∴AN→=13(a+b).返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)题型三共线向量定理及其应用典例3设两个非零向量a与b不共线,(1)若AB→=a+b,BC→=2a+8b,CD→=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.[分析](1)欲证三点A、B、D共线,即证存在实数λ,使AB→=λBD→,只要由已知条件找出λ即可.(2)由两向量共线,列出关于a、b的等式,再由a与b不共线知,若λa=μb,则λ=μ=0.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[解析]证明:(1)∵AB→=a+b,BC→=2a+8b,CD→=3(a-b)∴BD→=BC→+CD→=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB→.∴AB→、BD→共线,又∵它们有公共点B,∴A、B、D三点共线.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b,∵a、b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[归纳提升]1.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得AB→=λAC→(或BC→=λAB→等)即可.(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使OA→=xOB→+yOC→且x+y=1.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)【对点练习】❸已知向量AB→=a+5b,BC→=-2a+8b,CD→=3(a-b),(1)求证:A、B、D三点共线;(2)求证:CA→=xCB→+yCD→(其中x+y=1).[解析](1)∵BD→=BC→+CD→=-2a+8b+3(a-b)=a+5b,AB→=a+5b,∴AB→=BD→,∴AB→∥BD→,又AB→、BD→有公共点B,所以A,B,D三点共线.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)(2)∵CA→=CB→+BA→=-BC→-AB→=2a-8b-a-5b=a-13b,xCB→+yCD→=x(2a-8b)+3y(a-b)=(2x+3y)a+(-8x-3y)b.∴2x+3y=1-8x-3y=-13,所以x=2y=-1∴CA→=xCB→+yCD→,其中x+y=1.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)易错警示典例4进行向量的线性运算时忽略图形的性质已知点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设BC→=a,DA→=b,试用a,b表示EF→.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[错解]如图所示,连接BE并延长,交CD于点G,连接AG,由于点E是AC的中点,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG→=BC→,所以DG→=DA→+AG→=b+a.又EF是△BGD的中位线,所以EF→=12GD→=-12DG→.所以EF→=-12(a+b).返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[错因分析]由于四边形ABCD不一定是梯形,只是一般的四边形,所以点E不一定为BG的中点,所以四边形ABCG不一定是平行四边形,即AG→不一定等于a.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[正解]如图所示,取AB的中点P,连接EP,FP.在△ABC中,EP是中位线,所以PE→=12BC→=12a.在△ABD中,FP是中位线,所以PF→=12AD→=-12DA→=-12b.在△EFP中,EF→=EP→+PF→=-PE→+PF→=-12a-12b=-12(a+b).返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJA)[误区警示]在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是否是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.返回导航第六章平面向量及其应用数学(必修·第二册RJ
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