新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件641642平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(直观想象)2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(数学抽象)1．向量是工具，实现这一工具应用的关键是运算，平行与相交是平面几何中的重要线性关系，线性运算常用于解决平行(共线)问题，数量积运算常用于解决相交问题.2．凡是涉及平行的问题都可以用数乘运算处理，而与相交有关的夹角、垂直、长度等问题则可以用数量积运算处理.其中基底法和坐标法能实现形与数的相互转化，体现的是数形结合思想.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导3．能够将几何问题和物理问题转化为平面向量问题.(数学建模)4．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(数据分析)3．速度、位移是向量，与线性运算挂钩；功是数量，与数量积运算相连.凡涉及速度、位移均可以考虑用线性运算工具(向量加法的平行四边形法则)，而功的问题则直接运用数量积处理.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”知识点1返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与位移s的数量积.向量在物理中的应用知识点2返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.题型探究题型一向量在平面几何证明问题中的应用典例1返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[证明]法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0a1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，∴DP→·EF→＝(DA→＋AP→)·(EP→＋PF→)＝DA→·EP→＋DA→·PF→＋AP→·EP→＋AP→·PF→＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋2a×a×cos45°＋2a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．∴DP→⊥EF→，即DP⊥EF.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）法二：设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以DP→＝(x，x－1)，EF→＝(1－x，x)，由于DP→·EF→＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以DP→⊥EF→，即DP⊥EF.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]向量法解决平面几何问题的两种方法用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法：(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]方法一：设AD→＝a，AB→＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE→＝DA→＋AE→＝－a＋b2，AF→＝AB→＋BF→＝b＋a2，所以AF→·DE→＝(b＋a2)·(－a＋b2)＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0．故AF→⊥DE→，即AF⊥DE.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF→＝(2,1)，DE→＝(1，－2).因为AF→·DE→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF→⊥DE→，即AF⊥DE.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2．求对角线AC的长.题型二平面几何中的长度问题典例2[分析]把AD→，AB→看作一组基底，表示出BD→、AC→，利用|BD→|＝2，可求得AD→·AB→的值，进而求出|AC→|.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b，而|BD→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12，又|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝6.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0).∵D为AB的中点，∴Dn2，m2，∴|CD→|＝12n2＋m2，|AB→|＝m2＋n2，∴|CD→|＝12|AB→|，即CD＝12AB.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)∵E为CD的中点，∴En4，m4，设F(x,0)，则AE→＝n4，－34m，AF→＝(x，－m).∵A，E，F三点共线，∴AF→＝λAE→.即(x，－m)＝λn4，－34m，则x＝n4λ，－m＝－34mλ，故λ＝43，即x＝n3，∴Fn3，0，∴|AF→|＝13n2＋9m2，即AF＝13n2＋9m2.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功.题型三向量在物理中的应用典例3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析](1)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.(2)物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)如图，两根绳子的拉力之和OA→＋OB→＝OC→，且|OC→|＝|OG→|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，从而|OA→|＝|OC→|·cos30°＝1503(N)，|AC→|＝|OC→|·sin30°＝150(N)，所以|OB→|＝|AC→|＝150(N).答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).∴W1＝F1·AB→＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·AB→＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]用向量方法解决物理问题的“三步曲”返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(1)河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h，求小船的实际航行速度.(2)两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i、j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求：①F1、F2分别对该质点所做的功；②F1、F2的合力F对该质点所做的功.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作OA→＝a，OB→＝b，以OA→，OB→为邻边作矩形OACB，连接OC→，如图，则OC→＝a＋b，并且OC→即为小船的实际航行速度.∴|OC→|＝a＋b2＝a2＋b2＝20(km/h)，tan∠AOC＝10310＝3，∴∠AOC＝60°，∴小船的实际航行速度为20km/h，按北偏东30°的方向航行.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)AB→＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j，①F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB→＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB→＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23．②因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·AB→＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）如图所示，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m.求此人对物体所的功.易错警示典例4做功问题因对角度认识不清而致错返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[错解]记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×32＝753(J)，所以此人对物体所做的功为753J.[错因分析]要求此人对物体所做的功，可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积，根据向量数量积的公式，关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小，进而根据公式求得此人对物体所做的功.错解中错误地利用了题目中给出的角度，此角度不是作用力F与物体的位移s两者之间的夹角.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[正解]因为绳索长1.5m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m，斜面坡度为30°，所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sinθ＝1.2si