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当前位置:首页 > 临时分类 > 新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件722复数的乘除运算
第七章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘、除运算必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)素养目标·定方向返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)素养目标学法指导1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算,并会简单应用.(数学运算)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(逻辑推理)1.对比向量坐标的数量积运算,感觉复数乘法运算的差异,体会复数乘法运算与实数运算的异同.2.对比复数除法运算与实数除法运算的差异,类比分母有理化与共轭的关系.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)必备知识·探新知返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=______________________.复数的乘法法则知识点1(ac-bd)+(ad+bc)i对任意复数z1,z2,z3∈C,有复数乘法的运算律知识点2交换律z1·z2=_________结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)分配律z1(z2+z3)=_____________z2·z1z1z2+z1z3返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)复数代数形式的除法法则理想化知识点3(a+bi)÷(c+di)=a+bic+di=______________________(c+di≠0).ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[知识解读]1.对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).(2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.(3)常用结论①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)2.对复数除法的两点说明(1)实数化:分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)关键能力·攻重难返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)题型探究题型一复数代数表示式的乘法运算典例1(1)(2020·全国Ⅰ卷理)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.2D.2(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则z-=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2iDD返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)(3)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)[分析]利用乘法公式进行运算.[解析](1)由题意可得z2-2z=2i-2(1+i)=-2.故|z2-2z|=|-2|=2.故选D.B返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)(2)因为z=i(2+i)=-1+2i,所以z-=-1-2i.故选D.(3)z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在第二象限,所以a+10,1-a0,解得a-1,故选B.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[归纳提升]两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开;(2)再将i2换成-1;(3)然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)【对点练习】❶(1)计算:(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=()A.2-13iB.13+2iC.13-13iD.-13-2i(2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)DC返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[解析](1)(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.故选D.(2)A项,i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数;B项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数;C项,(1+i)2=2i,2i是纯虚数;D项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.故选C.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[分析]复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数,转化为乘法进行.题型二复数代数形式的除法运算典例2(1)(2020·全国Ⅰ)2-i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i(2)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z为()A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5iDA返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[解析](1)2-i1+2i=2-i1-2i1+2i1-2i=-5i5=-i.故选D.(2)∵z(2-i)=11+7i,∴z=11+7i2-i=11+7i2+i2-i2+i=15+25i5=3+5i.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[归纳提升]1.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式;(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.2.常用公式(1)1i=-i;(2)1+i1-i=i;(3)1-i1+i=-i.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)【对点练习】❷(1)在复平面内,复数5i2-i的对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)计算:1+i4+3i2-i1-i=_________.B-2+i返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[解析](1)5i2-i=5i2+i2-i2+i=5i2+i5=-1+2i,对应的点的坐标为(-1,2),位于第二象限.(2)法一:1+i4+3i2-i1-i=1+7i1-3i=1+7i1+3i10=-2+i.法二:1+i4+3i2-i1-i=1+i1-i4+3i2-i=i4+3i2+i5=-3+4i2+i5=-10+5i5=-2+i.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.(1)求实数a,b的值;(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.[分析]解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.题型三实系数一元二次方程在复数范围内根的问题典例3返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[解析](1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0,得(-a+b)+(a-2)i=0,∴-a+b=0,a-2=0,解得a=2,b=2.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.设另一个根为x2,由根与系数的关系,得-1+i+x2=-2,∴x2=-1-i.把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边,∴x2=-1-i是方程的另一个根.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[归纳提升](1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,即若复数a+bi(a,b∈R,b≠0)是实系数一元二次方程的根,则其共轭复数a-bi是该方程的另一根.(2)和在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,韦达定理和求根公式仍然适用,但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)【对点练习】❸(1)方程x2+6x+13=0的一个根是()A.-3+2iB.3+2iC.-2+3iD.2+3i(2)已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p,q的值.A[解析](1)∵Δ=36-4×13=-16,∴x=-6±-162=-3±2i.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)(2)由根与系数的关系可得2+ai+b+i=-p,2+ai·b+i=q,即p=-2+b-a+1i,q=2b-a+2+abi,因为p,q均为实数,所以-a+1=0,2+ab=0,解得a=-1,b=2,从而有p=-4,q=5.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)已知复数z满足条件z2-|z|-6=0,求复数z.[错解]由z2-|z|-6=0⇒(|z|-3)(|z|+2)=0.因为|z|+2≠0,所以|z|=3.则在复平面内以原点为圆心,3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求.[错因分析]本题将复数z的模等同于实数的绝对值,误认为|z|2=z2.易错警示典例4误认为|z|2=z2返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[正解]设z=x+yi(x,y∈R),则由条件得x2-y2+2xyi-x2+y2-6=0.由复数相等的充要条件得x2-y2-x2+y2-6=0,2xy=0,解得x2-x2-6=0,y=0或y2+y2+6=0,x=0(无解),即x2-3x2+2=0,y=0,解得x=±3,y=0.故z=3或z=-3.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)[误区警示]设复数z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,即z2≠|z|2,二者不可混淆.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)【对点练习】❹(2019·湖南省长沙市检测)已知复数z满足z=-|z|,则z的实部()A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0B[解析]设z=a+bi(a,b∈R),∵z=-|z|,∴a+bi=-a2+b2,∴a=-a2+b2,b=0,解得a≤0,b=0.故z的实部不大于0.返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)课堂检测·固双基返回导航第七章复数数学(必修·第二册RJA)素养作业·提技能
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