新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件863第2课时平面与平面垂直的性质

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．掌握面面垂直的性质定理.(直观想象)2．能利用面面垂直得到线面垂直.(逻辑推理)面面垂直的性质定理中的条件“有一直线垂直于这两个平面的交线”既为证明指明了方向，又有很强的约束性，因此使用定理时，一定要注意定理的条件.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）平面与平面垂直的性质定理知识点文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面_______符号语言α⊥β，α∩β＝l，_______，_______⇒a⊥β图形语言交线垂直a⊂αa⊥l返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直.(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.题型探究题型一平面与平面垂直的性质及应用典例1返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明](1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明](1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD.则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.∵AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.题型二线线、线面、面面垂直的综合典例2返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明](1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）∴MN∥BC且MN＝12BC，又∵E为AD的中点，∴MN∥DE且MN＝DE.∴四边形DENM为平行四边形.∴EN∥DM，且DM⊂平面PDC.∴EN∥平面PDC.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.求证：(1)PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，△ABC是直角三角形.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明](1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．0易错警示典例3对面面垂直的条件把握不准确致误C返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[错解]B[错因分析]④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[正解]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD.对于①，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②显然正确；对于③，AD1⊂平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故③错误；返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）对于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，过点D作AD的垂线，假设为C1D，易证C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD显然不成立，故④错误.综上，正确命题的个数为1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[误区警示]对于④，很容易认为是正确的而错选B“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过一点作的直线不一定在平面内.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸设两个平面互相垂直，则()A．一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直B返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能