新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业102事件的相互独立性Word版含解析

第十章10.2A组·素养自测一、选择题1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝“既有正面向上又有反面向上”，B＝“至多有一个反面向上”，则A与B的关系是(C)A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件[解析]由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的.2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是(C)A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99[解析]设Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，由题意知，A1，A2相互独立，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81．3．事件A，B是相互独立的，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(AB)＝0.18；③P(AB)＝0.28；④P(AB)＝0.42．其中正确的有(A)A．4个B．2个C．3个D．1个[解析]事件A，B是相互独立的，由P(A)＝0.4，P(B)＝0.3知：在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中，P(A－B－)＝P(A)P(B)＝0.6×0.7＝0.42，故④正确.4．甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(D)A．12B．35C．23D．34[解析]甲要获得冠军共分为两种情况：(1)第一场取胜，这种情况的概率为12.(2)第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为12×12＝14，则甲获得冠军的概率为12＋14＝34.5．(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题正确的是(ABD)A．若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，则M，N为相互独立事件B．若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，则M，N为相互独立事件C．若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，则M，N为相互独立事件D．若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝56，则M，N为相互独立事件[解析]在A中，若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确；在B中，若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故B正确；在C中，若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝16，当M，N为相互独立事件时，P(MN)＝12×23＝13，故C错误；D．若P(M)＝12，P(N)＝13，P(MN)＝56，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故D正确.二、填空题6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为__13__，问题得到解决的概率为__23__.[解析]甲、乙两人都未能解决的概率为1－12×1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－13＝23.7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝34，则P(AB－)＝__18__；P(A－B－)＝__18__.[解析]∵P(A)＝12，P(B)＝34，∴P(A－)＝12，P(B－)＝14.∴P(AB－)＝P(A)P(B－)＝12×14＝18，P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝12×14＝18.8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是__0.24__，三人中至少有一人达标的概率是__0.96__.[解析]由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．三、解答题9．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.[解析](1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P(A)＝13×14×1－13＝118.(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝13×1－14＋14×1－13＋13×14＝512＋112＝12.10．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112，乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否是相互独立的.(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.[解析](1)记事件A＝“甲答对这道题”，事件B＝“乙答对这道题”，事件C＝“丙答对这道题”.设乙答对这道题的概率P(B)＝x.由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.由题意，根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(AB)＝P(A)·P(B)＝1－34×(1－x)＝112，解得x＝23，所以乙答对这道题的概率P(B)＝23.(2)设事件M＝“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，丙答对这道题的概率P(C)＝y.根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(BC)＝P(B)·P(C)＝23×y＝14，解得y＝38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝1－34×1－23×1－38＝596.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以所求事件概率P(M)＝1－596＝9196.B组·素养提升一、选择题1．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(B)A．0.504B．0.994C．0.496D．0.064[解析]由题意可知，系统的可靠性为1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.006＝0.994．2．某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序生产出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为(A)A．ab－a－b＋1B．1－a－bC．1－abD．1－2ab[解析]由题意，两道工序生产出正品的概率分别是1－a,1－b，又这两道工序生产出废品是彼此无关的，故产品的合格率为(1－a)×(1－b)＝ab－a－b＋1．故选A．3．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为(D)A．215B．25C．35D．1315[解析]记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P(E)＝23，P(E)＝13，P(F)＝35，P(F)＝25，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立.记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则H＝E∩F，于是P(H)＝P(E)×P(F)＝13×25＝215，故所求的概率P(H)＝1－P(H)＝1－215＝1315.故选D．4．甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛，甲能获得一等奖的概率是13，乙能获得一等奖的概率是34，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，则甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为(C)A．512B．16C．56D．14[解析]由于甲能获得一等奖的概率是13，乙能获得一等奖的概率是34，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，∴甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为P＝1－1－131－34＝56.二、填空题5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__.[解析]记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128．6．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__16__；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__23__.[解析]甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为1－12×1－13＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.三、解答题7．台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率.[解析]设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件A，B，C，不准确记为A－，B－，C－，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A－)＝0.2，P(B－)＝0.3，P(C－)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有ABC－，AB－C，A－BC，ABC，这四个事件两两互斥.所以至少两颗预报准确的概率为P＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．8．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大.[解析]设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为pk(k＝0,1,2,3).(1)三人都合格的概率：p3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：p0＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：p2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：p1＝1－p0－p2－p3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知p1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.