新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业632633平面向量的正交分解及坐标表示平面向量

第六章6.36.3.26.3.3A组·素养自测一、选择题1．(多选)给出下面几种说法，其中说法正确的是(ABD)A．相等向量的坐标相同B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C．一个坐标对应于唯一的一个向量D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应[解析]由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(B)A．(－2,1)B．(2，－1)C．(2,0)D．(4,3)[解析]由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1).3．已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量AB→的坐标是(C)A．－4，12B．4，－12C．(－8,1)D．(8,1)[解析]AB→＝OB→－OA→＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1).4．若A(3,1)，B(2，－1)，则BA→的坐标是(C)A．(－2，－1)B．(2,1)C．(1,2)D．(－1，－2)[解析]BA→＝OA→－OB→＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).5．已知点A(0,1)，B(4,0)，向量AC→＝(－2，－2)，则向量BC→等于(A)A．(－6，－1)B．(6,1)C．(2，－1)D．(－2，－1)[解析]设C(x，y)，则AC→＝OC→－OA→＝(x，y－1)＝(－2，－2)，即x＝－2，y＝－1，故C(－2，－1)，则BC→＝OC→－OB→＝(－6，－1).二、填空题6．已知点A(1，－2)，若向量AB→＝(6,9)，则点B的坐标为(7,7)__.[解析]由AB→＝(6,9)，所以OB→＝OA→＋AB→＝(1，－2)＋(6,9)＝(7,7).7．如图，向量a，b，c的坐标分别是__(－4,0)__，__(0,6)__，(－2，－5)__.[解析]将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)，b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5).8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→＝__(－3，－5)__.[解析]∵BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5).三、解答题9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°.(1)求向量OA→的坐标.(2)若B(3，－1)，求BA→的坐标.[解析](1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，OA→＝(23，6).(2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(1＋3t,2＋3t)，及OP→＝OA→＋OB→，问t为何值时，(1)点P在x轴上？(2)点P在y轴上？(3)点P在第二象限？[解析]由题意OP→＝(1,2)＋(1＋3t,2＋3t)＝(2＋3t，4＋3t).(1)当点P在x轴上时，4＋3t＝0，得t＝－43.(2)当点P在y轴上时，2＋3t＝0，得t＝－23.(3)当点P在第二象限时，2＋3t0，4＋3t0，解得－43t－23.B组·素养提升一、选择题1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(C)A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线[解析]a＋b＝(0,1＋x2)，与y轴平行.2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝AD→，则顶点D的坐标为(A)A．(4,5)B．(5，－4)C．(3,2)D．(1,3)[解析]设D点坐标为(x，y)，则BC→＝(4,3)，AD→＝(x，y－2)，由BC→＝AD→，得4＝x，3＝y－2，∴x＝4，y＝5，∴D(4,5).3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(D)A．(－7,0)B．(7,6)C．(6,7)D．(7，－6)[解析]设D(x，y)，因为AD＝BC，所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，所以x＝7，y＝－6．4．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，AD→＝(－1,2)，则AC→＋BD→＝(A)A．(－2,4)B．(4,6)C．(－6，－2)D．(－1,9)[解析]在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以AB→＝(2,3).又AD→＝(－1,2)，所以AC→＝AB→＋AD→＝(1,5)，BD→＝AD→－AB→＝(－3，－1)，所以AC→＋BD→＝(－2,4)，故选A．二、填空题5．已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA→|＝6，∠xOA＝150°，则向量OA→的坐标为__(－33，3)__.[解析]设点A(x，y)，则x＝|OA→|cos150°＝6cos150°＝－33，y＝|OA→|sin150°＝6sin150°＝3，即A(－33，3)，所以OA→＝(－33，3).6．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y).其中，正确结论有__1__个.[解析]由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误.三、解答题7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和AB→与AD→的坐标.[解析]由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴AB→＝32，12，AD→＝－12，32.8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ＋2,7λ＋3)，若第三象限的点P满足AP→＝AB→＋AC→，求实数λ的取值范围.[解析]设P(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3)，又AP→＝AB→＋AC→＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由AP→＝AB→＋AC→，可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ，即x＝5λ＋5，y＝7λ＋4.因为点P在第三象限，所以5λ＋50，7λ＋40，解得λ－1．故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1).