新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业643第1课时余弦定理Word版含解析

第六章6.46.4.3第1课时A组·素养自测一、选择题1．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(A)A．1B．2C．3D．4[解析]设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1．2．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(D)A．518B．34C．32D．78[解析]设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cosA＝4x2＋4x2－x22·2x·2x＝78，故选D．3．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为(AB)A．4B．8C．4或6D．无解[解析]由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8．4．在△ABC中，若abc，且c2a2＋b2，则△ABC为(B)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在[解析]∵c2a2＋b2，∴∠C为锐角.∵abc，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形.5．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(C)A．3π4B．π3C．π4D．π6[解析]由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0Aπ，所以A＝π4.二、填空题6．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为__120°__.[解析]由cab，知角C为最大角，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.7．在△ABC中，B＝45°，AC＝10，AB＝2，则BC＝__32__.[解析]由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB，又因为B＝45°，AC＝10，AB＝2，所以(10)2＝BC2＋22－2×BC×2×cos45°，整理，得BC2－22BC－6＝0，所以(BC－32)(BC＋2)＝0，解得BC＝32或BC＝－2(舍去)，所以BC边的长为32.8．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝__2__.[解析]由已知及余弦定理，得sinA＝b2＋c2－a22bc＝cosA，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，a＝2．三、解答题9．在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求角A、B、C.[解析]在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝262＋6＋232－4322×26×6＋23＝243＋12423＋1＝22.∴C＝45°；同理A＝30°.∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.10．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状.[解析]由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acosB，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2．∴△ABC是以A为直角的直角三角形.又∵b＝asinC，∴b＝a·ca.∴b＝c.∴△ABC也是等腰三角形.综上所述，△ABC是等腰直角三角形.B组·素养提升一、选择题1．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为(B)A．322B．332C．32D．33[解析]如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝13，AC＝4．∵cosA＝32＋42－1322×3×4＝12，∴sinA＝32.故BD＝AB·sinA＝3×32＝332.2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于(D)A．－32B．－23C．23D．32[解析]∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos〈AB→，AC→〉，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB→|＝3，|AC→|＝2，cos〈AB→，AC→〉＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝14.故AB→·AC→＝3×2×14＝32.3．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(C)A．1a3B．1a5C．3a5D．不确定[解析]若a是最大边，则cosA0，∴b2＋c2－a22bc0，由b＝1，c＝2，可解得a5；若c是最大边，则cosC0，∴a2＋b2－c22ab0，解得a3.∴a的取值范围是3a5，故选C．4．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝(A)A．42B．30C．29D．25[解析]cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC，所以AB2＝1＋25－2×1×5×－35＝32，所以AB＝42.二、填空题5．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为π3.[解析]∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，∵0Cπ，∴C＝π3.6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝__4__.[解析]因为b＋c＝7，所以c＝7－b.由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，解得b＝4．三、解答题7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长.[解析]由余弦定理的推论，得cosA＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝(AC2)2＋AB2－2×AC2×ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x＝7．所以，所求中线长为7．8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状.[解析](1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，∴(3)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝23，与①联立，解得bc＝3，∴b＋c＝23，bc＝3，∴b＝c＝3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC为等边三角形.