新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业第6章平面向量及其应用Word版含解析

第六章平面向量及其应用考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是(D)A．OA→－OB→＝AB→B．AB→＋BA→＝0C．0·AB→＝0D．AB→＋BC→＋CD→＝AD→[解析]起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA→－OB→＝BA→；AB→，BA→是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB→＋BA→＝0；0·AB→＝0．2．如图，a－b等于(C)A．2e1－4e2B．－4e1－2e2C．e1－3e2D．3e1－e2[解析]a－b＝e1－3e2．3．设O，A，M，B为平面上四点，OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→，且λ∈(1,2)，则(B)A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，B，M四点共线[解析]OM→＝λOB→＋OA→－λOA→，所以OM→－OA→＝λ(OB→－OA→)，AM→＝λAB→，由λ∈(1,2)可知，A，B，M三点共线，且B在线段AM上.4．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝7，c＝3，B＝π6，那么a等于(C)A．1B．2C．4D．1或4[解析]在△ABC中，b＝7，c＝3，cosB＝32，由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即7＝a2＋3－3a，解得a＝4或a＝－1(舍去).故a的值为4．5．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝(C)A．－12B．12C．－2D．2[解析]a＋λb＝(1,2)＋(－2λ，3λ)＝(1－2λ，2＋3λ)，由(a＋λb)⊥c，可得(1－2λ)×4＋(2＋3λ)×5＝0，解得λ＝－2．6．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为(D)A．1B．2C．2D．3[解析]由sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，cosC＝a2＋b2－c22ab＝12.∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°.∴sinC＝32，∴S△ABC＝12absinC＝3.7．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且BD→＝3－12BC→，则AD的长为(C)A．4(3－1)B．4(3＋1)C．4(3－3)D．4(3＋3)[解析]由题意知∠BAC＝75°，根据正弦定理，得AB＝BCsin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD→＝3－12BC→，所以BD＝3－12BC.又BC＝8，所以BD＝4(3－1).在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝4(3－3).故选C．8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是(D)A．2B．0C．－1D．－2[解析]由平行四边形法则得PA→＋PB→＝2PO→，故(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，又|PC→|＝2－|PO→|，且PO→，PC→反向，设|PO→|＝t(0≤t≤2)，则(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1].∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(PA→＋PB→)·PC→取得最小值－2，故选D．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是(ABC)A．0或1B．2或3C．4D．6[解析]由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC．10．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(AB)A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝bD．若ma＝na，则m＝n[解析]对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；对于D，若a＝0，则m，n没有关系，错误.故选AB．11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(ACD)A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为34或32[解析]对于A，sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形；对于B，由sinA＝cosB，∴A－B＝π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形，B错误；对于C，sin2A＋sin2B1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D，如图所示，由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝32.而cb，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝12bcsinA＝32或34，D正确.故选ACD．12．给出下列四个命题，其中正确的选项有(ABC)A．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°B．若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形C．若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1D．若OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m－34[解析]A中，令OA→＝a，OB→＝b.以OA→，OB→为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，故A正确；B中，∵(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，∴|AB→|2＝|AC→|2，故△ABC为等腰三角形，故B正确；C中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2＝4＋4xcos120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值时x＝1．故C正确；D中，∵BA→＝OA→－OB→＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC→＝OC→－OB→＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴BA→·BC→0，即3＋3m＋m0，∴m－34.又当BA→与BC→同向共线时，m＝12，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m－34且m≠12，故D不正确.故选ABC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝__23__.[解析]由题意，得cos〈a，c〉＝a·2a－5b|a|·|2a－5b|＝2a2－5a·b|a|·|2a－5b|2＝21×4＋5＝23.14．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.[解析]由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，AD→＝a，AB→＝b，∵a＋b＋c＝0，∴CA→＝c，BD→＝a－b.∵(a－b)⊥c，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形.∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4．15．(2018·浙江，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝__217__，c＝__3__.[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴7sin60°＝2sinB，得sinB＝217，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝4＋c2－74c＝12，解得c＝3．16．(2020·江西弋阳一中高二月考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为__43__.[解析](a＋b－c)(a＋b＋c)＝(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab.又∵a2＋b2－c2＝2abcosC，∴2abcosC＝ab，∴cosC＝12，∵C∈(0，π)，∴C＝π3.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴16＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，∴ab≤16．∴△ABC面积的最大值S＝12absinC≤12×16×sinπ3＝43.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，cosA＝34，sinB＝5716，c4．(1)求b；(2)求△ABC的周长.[解析](1)因为a＝4，cosA＝34，sinB＝5716，所以sinA＝1－cos2A＝74，所以由正弦定理可得：b＝asinBsinA＝4×571674＝5．(2)因为由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccosA，可得：16＝25＋c2－2×5×c×34，整理可得：2c2－15c＋18＝0，解得：c＝6或32(由c4，舍去)，所以△ABC的周长＝a＋b＋c＝4＋5＋6＝15．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值.[解析](1)AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB→＋AC→|与|AB→－AC→|的大小.由AB→＋AC→＝(2,6)，得|AB→＋AC→|＝210，由AB→－AC→＝(4,4)，得|AB→－AC→|＝42.(2)OC→＝(－2，－1)，∵(AB→－tOC→)·OC→＝AB→·OC→－tOC→2，易求AB→·OC→＝－11，OC→2＝5，∴由(AB→－tOC→)·OC→＝0得t＝－115.19．(本小题满分12分)(2020·全国Ⅱ卷理)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.[解析](1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，②由①，②得cosA＝－12.因为0Aπ，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.又0Bπ3，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.20．(本小题满分12分)△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.[解析]如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC→＝(2，－2).设AF→＝λAC→，则BF→＝BA→＋AF→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ).又DA→＝(－1,2)，BF→⊥DA→，∴BF→·DA→＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23.∴BF→＝(43，23)，DF→＝BF→－BD→＝(13，23).又DC→＝(1,0)，∴cos∠ADB＝DA→·DB→|DA→|·|DB→|＝55，cos∠FDC＝DF→