新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业第7章复数Word版含解析

第七章复数考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·全国Ⅲ卷理)复数11－3i的虚部是(D)A．－310B．－110C．110D．310[解析]因为z＝11－3i＝1＋3i1－3i1＋3i＝110＋310i，所以复数z＝11－3i的虚部为310.故选D．2．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数z－＝(A)A．iB．－iC．4－5i5D．4＋5i5[解析]z＝1－2i2＋i＝－i，则z－＝i.3．已知复数z＝i，则1＋iz＝(C)A．1＋iB．1－iC．2D．1[解析]已知复数z＝i，则1＋iz＝1＋ii＝1－i⇒|1－i|＝2.4．若复数z满足(1＋i)z＝|3＋i|，则在复平面内，z对应的点位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题可知z＝|3＋i|1＋i＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝21－i1－i2＝1－i，所以z对应的点为(1，－1)，位于第四象限.5．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋4i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(B)A．3＋2iB．3－2iC．－3－iD．－3＋i[解析]由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋4i＝0．即n2＋mn＋2＝0，2n＋4＝0，解得m＝3，n＝－2.所以z＝3－2i.6．若复数z1，z2满足z1＝z－2，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2(A)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[解析]复数z1，z2满足z1＝z－2，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于x轴对称.7．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a－3i，z·z－＝4，则a＝(A)A．1或－1B．7或－7C．－3D．3[解析]由题意，复数z＝a－3i，则z－＝a＋3i，所以z·z－＝(a－3i)(a＋3i)＝a2＋3＝4，所以a2＝1，即a＝1或a＝－1．8．欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数eπ3i的虚部为(B)A．－32B．32C．－32iD．32i[解析]根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，可得eπ3i＝cosπ3＋isinπ3＝12＋32i，所以eπ3i的虚部为32.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．若θ∈(3π2，2π)，则复数cosθ＋isinθ在复平面内对应的点不可能在(ABC)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵θ∈(3π2，2π)，∴cosθ＞0，sinθ0，∴复数cosθ＋isinθ在复平面内对应的点在第四象限，故选ABC．10．已知i是虚数单位，与复数1＋i1－i2相同的选项为(BD)A．－iB．－1C．1D．i2[解析]1＋i1－i2＝2i－2i＝－1．11．设z－1，z2是复数，给出四个命题：①若|z1－z2|＝0，则z－1＝z－2②若z1＝z－2，则z－1＝z2③若|z1|＝|z2|，则z1·z－1＝z2·z－2④若|z1|＝|z2|，则z21＝z22其中真命题的有(ABC)A．①B．②C．③D．④[解析]由z1，z2是复数，得：在①中，若|z1－z2|＝0，则z1，z2的实部和虚部都相等，所以z－1＝z－2，故①正确；在②中，若z1＝z－2，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，所以z－1＝z2，故②正确；在③中，若|z1|＝|z2|，则z1·z－1＝z2·z－2＝|z1|2，故③正确；在④中，若|z1|＝|z2|，则由复数的模的性质得z21≠z22，如|1－i|＝|1＋i|＝2，但(1－i)2＝－2i≠(1＋i)2＝2i，故④不正确.12．若复数z＝(a－i)·i，a是下列区间内的任意实数，则可以使|z|≤2恒成立的是(AB)A．[－1,0)B．[－1,1]C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析]因为z＝(a－i)·i＝1＋ai，所以|z|＝1＋a2≤2，解得－3≤a≤3.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．1＋i1－i2019＝__－i__.[解析]1＋i1－i＝1＋i21－i1＋i＝i，所以1＋i1－i2019＝i2019＝i4×504＋3＝i3＝－i.14．已知i为虚数单位，则复数z＝21＋i在复平面内对应的点的坐标为__(1，－1)__.[解析]复数z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝21－i2＝1－i，则z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1).15．已知a，b∈R，复数z＝a－i且z1＋i＝1＋bi(i为虚数单位)，则ab＝__－6__.[解析]因为z＝a－i，所以z1＋i＝a－i1＋i＝1＋bi，即a－i＝(1＋i)(1＋bi)＝1＋bi＋i－b＝(b＋1)i＋1－b，根据左右两边对应相等有a＝1－b，－1＝b＋1，⇒a＝3，b＝－2，所以ab＝－6．16．已知复数z满足z＝1－ii(i是虚数单位)，则z2＝__2i__；|z|＝__2__.[解析]由题意，根据复数的运算，化简得z＝1－ii＝1－i－i－i2＝－1－i，所以z2＝(－1－i)2＝2i，|z|＝2.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R).(1)若z为纯虚数，求|3＋z|.(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围.[解析](1)若z为纯虚数，则a2－a＝0，a－1≠0，所以a＝0，故z＝i，所以|3＋z|＝10.(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，则a2－a0，－a＋10，解得a1．18．(本小题满分12分)计算：(1)1＋3i2－21＋2i3－i.(2)1－i1＋i2＋1＋i1－i2.[解析](1)1＋3i2－21＋2i3－i＝－8＋6i－2－4i3－i＝－10＋2i3－i＝－10＋2i3＋i3－i3＋i＝－32－4i10＝－165－25i.(2)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i－1＋i2i＝－2i2i＝－1．19．(本小题满分12分)已知i为虚数单位，复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数.(1)求复数z及z－.(2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模.[解析](1)由题可得(1＋3i)·z＝(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0且9＋b≠0，解得b＝1，所以z＝3＋i，z－＝3－i.(2)由(1)可得ω＝z2＋i＝3＋i2＋i＝3＋i2－i2＋i2－i＝7－i5＝75－15i，所以|ω|＝75－15i＝752＋－152＝2.20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i.(1)求复数z的共轭复数z－及|z|.(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值.[解析](1)复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i.z＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3iz－＝－3＋3i，|z|＝－32＋－32＝32.(2)因为复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是纯虚数，所以a2－2a－3＝0，a－3≠0，解得a＝－1．所以实数a＝－1．21．(本小题满分12分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝5w＋|w－－2|.(1)求z.(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根.[解析](1)因为w－4＝(3－2w)i，所以w(1＋2i)＝4＋3i，所以w＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i1＋2i1－2i＝2－i，所以z＝52－i＋|i|＝52＋i2－i2＋i＋1＝3＋i.(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，因为p，q为实数，所以8－3p＋q＝0，6－p＝0，解得p＝6，q＝10．解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.22．(本小题满分12分)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求(1)|z|的最大值和最小值；(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值.[解析](1)满足条件|z＋3＋i|≤1的复数z的几何意义为圆心为(－3，－1)，半径为1的圆及其内部，|z|则表示圆面上一点到原点的距离，易求得圆心到原点的距离为32＋12＝2，所以|z|max＝3，|z|min＝1．(2)∵|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2，∴|z－1|2＋|z＋1|2最大值为20，最小值为4．