新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业第8章习题课平行与垂直的综合问题检测Word版含

第八章习题课1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥平面PCD.题图答图[解析](1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.∵E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，∴NE∥PD，EM∥DA，∴平面NEM∥平面PDA，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.∵底面ABCD是矩形，CD⊥AD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.∵PM＝PA2＋AM2＝a2＋12AB2＝BC2＋MB2＝MC，N是PC的中点，∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.2．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°.(1)求证：BC⊥AB1；(2)若AB＝a，AB1＝62a，求三棱锥C­ABB1的体积.题图答图[解析](1)证明：取BC的中点O，连接AO，B1O，如图.∵侧面BB1C1C是菱形，且∠B1BC＝60°，∴△B1BC为等边三角形，∴B1O⊥BC.又△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，又B1O∩AO＝O，B1O，AO⊂平面AOB1，∴BC⊥平面AOB1，而AB1⊂平面AOB1，∴BC⊥AB1．(2)由(1)知OA⊥BC，OB1⊥BC，△ABC和△BB1C是全等的等边三角形，∴OA＝OB1，∵AB＝a，∴OA＝OB1＝32a，∵AB1＝62a，∴AB21＝OA2＋OB21，∴OB1⊥OA，∵OB1⊥BC，又OA∩BC＝O，OA，BC⊂平面ABC，∴OB1⊥平面ABC，∴VC­ABB1＝VB1­ABC＝13S△ABC·OB1＝13×12×a×32a×32a＝a38.3．如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC.(1)求证：平面ABD⊥平面ABC.(2)求二面角C－BD－A的余弦值.[解析](1)证明：由已知条件，知AD＝CD＝BD.如图，取AB中点O，连接DO，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DO⊥AB，且DO＝22AD.连接CO，同理CO⊥AB，且CO＝22AC.∵AD＝AC，∴CO＝DO＝22AC.∵CD＝AC，∴CO2＋DO2＝CD2，∴△CDO为等腰直角三角形，且CO⊥DO.∵AB∩CO＝O，DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC.∵DO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.(2)解：取BD的中点E，连接CE，OE.∵△BCD为等边三角形，∴CE⊥BD.又∵△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角C－BD－A的平面角.由(1)可证得OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.设BC＝b，则CE＝32b，OE＝12b，∴cos∠OEC＝OECE＝33，即二面角C－BD－A的余弦值为33.