新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件623向量的数乘运算

6.2.3向量的数乘运算基础预习初探1.(1)类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢?提示:可以,即a+a+a=3a.(2)3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢?提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.(3)按照向量加法的三角形法则,若a为非零向量,那么3a的长度与a的长度有何关系.提示:3a的长度是a的长度的3倍,即若|a|=λ,则|3a|=3λ.(4)实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量a,b,上式是否仍成立?提示:成立,向量同样满足分配律、结合律.2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况?提示:方向相同或方向相反或其中一个为零向量.(2)若b=2a,b与a共线吗?λa与a(λ≠0,a≠0)的方向有何关系?提示:a与b共线,λa与a的方向相同或相反.(3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ使得b=λa?提示:一定存在,且是唯一的.【概念生成】1.向量的数乘一般地,实数λ与向量a的乘积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.2.向量的数乘的长度与方向(1)长度:|λa|=|λ||a|.(2)方向:若a≠0,当λ0时,λa的方向与a的方向_____;当λ0时,λa的方向与a的方向_____.(3)几何意义:λa中的实数λ,叫做向量a的_____.λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ0时)或a的反方向(λ0时)扩大或缩小_____倍得到.向量相同相反系数|λ|3.向量的数乘运算律设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=(λμ)a.(2)(λ+μ)a=λa+μa.(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.4.向量的线性运算向量的加法运算、减法运算、数乘向量运算统称为向量的线性运算,向量的线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.5.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使______.b=λa核心互动探究探究点一向量的线性运算【典例1】(1)计算:①4(a+b)-3(a-b)-8a;②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);③(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求+(2b-a).【思维导引】运用向量数乘的运算律求解,可类比实数运算中的合并同类项方法化简.2114367.334[（）（）]abbab12()()33abab【解析】(1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.③原式=2137(43)3324abbab2511()3212511.318＝＝abab12223312(11)(12)33（）原式＝＋＋＝＋ababbaab5555322333310105(5)()33355.3＝＋＝（＋）＋（）＝＋＝abijijijij【类题通法】(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.【定向训练】计算:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).16【解析】(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b.(3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb.1616【补偿训练】若已知向量a,b满足(3a-2c)+4+(a+6b)=0,则c=________.【解析】(3a-2c)+4+(a+6b)=a-c+c-4b+a+6b=2a+2b+c=0,所以c=-2a-2b,c=-6a-6b.答案:-6a-6b131()4cb131()4cb231313探究点二共线向量定理及其应用【典例2】设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.ABuurBCuurCDuuur【思维导引】(1)欲证三点A,B,D共线,即证存在实数λ,使=λ,只要由已知条件找出λ即可.(2)由两向量共线,列出关于a,b的等式,再由a与b不共线知,若λa=μb,则λ=μ=0.ABuurBDuuur【解析】(1)因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,所以,共线,又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.ABuurBCuurCDuuurBCuurCDuuurABuurABuurBDuuurBDuuur(2)因为ka+b与a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b,因为a,b是不共线的两个非零向量,所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0.所以k=±1.【类题通法】用向量法证明三点共线时,关键是能否找到一个实数λ,使得b=λa(a,b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明向量共线,然后再由两向量有公共点,证得三点共线.【定向训练】1.O为△ABC内一点,且2++=0,若B,O,D三点共线,则t的值为()OAuuurOBuurOCuuurADtAC,1112A.B.C.D.3423【解析】选A.由得所以因为B,O,D三点共线,所以可设则2+=λt+(1-t)λ,所以[2-(1-t)λ]=(λt-1).因为,不共线,故ADtACODOAtOCOA（），ODtOC1tOA（），BOOD，OAuuurOCuuurOCuuurOAuuurOAuuurOCuuur21t01t.t10,3（），解得OAuuurOCuuur2.已知向量=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b).求证:=x+y,其中x+y=1.ABuurBCuurCDuuurCAuuurCBuurCDuuur【证明】因为=2a-8b-a-5b=a-13b,x+y=x(2a-8b)+3y(a-b)=(2x+3y)a+(-8x-3y)b.所以=x+y,其中x+y=1.CACBBABCAB＝＋＝－－CDuuurCBuur2x3y1,x2,8x3y13y1＋＝＝所以所以－－＝－，＝－，CAuuurCBuurCDuuur【知识延拓】向量共线与线段共线的区别以及作用(1)向量共线与线段共线的区别:向量共线时,两向量所在的线段可能平行,也可能共线;而两条线段共线时,这两条线段必定在同一条直线上.(2)向量共线定理的作用:向量共线定理可以证明线段平行,也可以证明三点共线.【补偿训练】已知△AOB中,点P在直线AB上,且满足t∈R,则=________.|PA||PB|OPtOB2tPA，【解析】因为点P在直线AB上,所以设则又t∈R,则解得λ=-2,所以=.答案:PBPA，OBOPPAOPOBPA，即，OPtOB2tPA，t1,2t，|PA||PB|1212探究点三用向量的线性运算表示未知向量【典例3】如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示【思维导引】用a,b表示→→OAuuurOBuur1313OMONMN.，，BMOMON，MNONOM＝【解析】1111BMBCBAOAOB3666＝＝＝（－）＝（－），ab1115OMOBBM.666611CNCDOD36所以＝＋＝＋－＝＋因为＝＝，babab11ONOCCNODOD262222ODOAOB3333所以＝＋＝＋＝＝（＋）＝＋，ab21511MNONOM.36626＝－＝（＋）－－＝－ababab【类题通法】用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.【定向训练】1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()EB31A.ABAC4413B.ABAC4431C.ABAC4413D.ABAC44【解析】选A.如图所示1EBABAEABAD21131ABABACABAC.2244（）2.如图,设△ABC的重心为G,O是△ABC所在平面内的一点,且=a,=b,=c,则=________.OAuuurOBuurOCuuurOG【解析】易知,(b+c),所以(b+c),又因为所以故=a-=a+b+c.答案:a+b+c11OMOBOC22（）1MAOAOM2a2GAMA,3221GAMA[,332（）]abcOGOAGA21[32（）]abc131313131313【补偿训练】已知在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点.若=e1,=e2,试用e1,e2表示AMANDBAO.，【解析】因为M,N分别是DC,BC的中点,所以MN􀱀BD.因为=e2-e1,所以=2=2e2-2e1.又因为AO是△AMN的中线,所以=e2+e1.12MNANAMDBMN1AOANAM2（）1212【课堂小结】课堂素养达标1.已知非零向量a,b满足a=4b,则()A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反【解析】选C.因为a=4b,40,所以|a|=4|b|.因为4b与b的方向相同,所以a与b的方向相同.2.在▱ABCD中,=2a,=3b,则等于()A.a+bB.a-bC.2a+3bD.2a-3b【解析】选C.=+=2a+3b.ABuurADuuurACuuurACuuurABuurADuuur3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线【解析】选B.因为=a+4b,即=,所以即存在λ=1使所以共线.又因为两向量有公共点B,所以A,B,D三点共线.ABuurBCuurBCCDuuruuurCDuuurBCCDuuruuurABuurBDAB＝，BDAB,＝BDAB，4.如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=则t=λ-μ的最大值是________.AEABAC＋，【解析】设0≤k≤1,则所以所以t=λ-μ=3k.又0≤k≤1,所以当k=1时,t取最大值3.故t=λ-μ的最大值为3.答案:3AEkAD,＝AEk(AC2CB)k[AC2(ABAC)]＝＋＝＋－＝2kABkACAEABAC－，因为＝＋，2kk＝，＝－，5.已知两个非零向量e1,e2不共线,若=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.求证:A,B,D三点共线.【证明】因为=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,所以∥.又因为AD和AB有公共点A,所以A,B,D三点共线.ABuurADABBCCD＝＋uuuruuruuruuurBCuurCDuuurABuurADuuurABuur