新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件641642平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举

6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例基础预习初探1.平面几何中的向量方法(1)要判断AB⊥CD,从向量的角度如何证明?提示:证明,即=0即可.(2)怎样用向量的方法证明AB∥CD?提示:要证明AB∥CD,证明即可,同时注意AB,CD是否共线.ABCDABCDABCD(3)如何利用向量方法求直线AB与CD所成角?提示:根据数量积公式先求出与所成角,若是锐角或直角即为直线AB,CD所成角,若是钝角,其补角即为直线AB,CD所成角.(4)如何利用向量的方法求线段的长度?提示:根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线段的长度.CDAB2.向量在物理中的应用(1)物理中力的合成与分解体现了向量的哪种运算?提示:物理中的力可以看成向量,力的合成与分解体现了向量的加法运算与减法运算.(2)向量方法解决物理问题的步骤是什么?提示:①把物理问题转化为数学问题.②建立以向量为主的数学模型.③求出数学模型的解.④根据数学模型中的解,解释相关的物理现象.【概念生成】1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用_____表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_____问题.(2)通过_____运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.(3)把_________“翻译”成几何关系.向量向量向量运算结果2.用向量方法解决平面几何中的常见问题设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0且b≠0),a与b的夹角为θ.(1)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的_________、向量的___.(2)证明垂直或涉及垂直问题,常用向量垂直的等价条件:a⊥b⇔_______⇔__________.线性运算a·b=0模x1x2+y1y2=0(3)线段平行或涉及共线问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b⇔______⇔__________.(4)求夹角问题,常利用向量的夹角公式:cosθ=.a=λbx1y2-x2y1=0121222221122xxyyababxyxy3.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.核心互动探究探究点一向量在平面几何中的应用【典例1】(1)已知非零向量与满足=0且,则△ABC的形状是()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积.CDABABAC()BCABACABCA12ABAC【思维导引】(1)先由平行四边形法则分析的几何意义,由数量积为0推出垂直关系,再由求∠BAC,最后判断△ABC的形状.(2)先建系设点P坐标,再根据A,P,F和C,P,E分别共线求点P坐标,最后求四边形APCD的面积.ABACABACABCA12ABAC【解析】(1)选C.由=0,得∠A的平分线垂直于BC,所以AB=AC,设,的夹角为θ,而=cosθ=,又θ∈[0,π],所以∠BAC=π-=π,故△ABC为等腰三角形.ABAC()BCABACABCAABACCAAB12233(2)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,所以A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),设P(x,y),=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由点A,P,F和点C,P,E分别共线,得所以所以S四边形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB=36-×3×3-×3×6=.ECAPAFEP9x,2y3,==4x6y0,6(x3)3y0,==4521212【延伸探究】1.将本例(1)的条件改为(-)·(+-2)=0,试判断△ABC的形状.【解析】因为(-)·(+-2)=0,所以(-)·(-+-)=0,所以·(+)=0,所以(-)·(+)=0,所以-=0,即||2-||2=0所以||=||,所以△ABC是等腰三角形.OCOBOAOCOBOCOBOAOCOBOCOBOCOBOAOAACABCBACABACABACABACAB2AC2AB2.将本例(2)的条件“BF∶FC=2∶1”改为“BF∶FC=1∶1”,求证:AF⊥DE.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),则中点E(3,0),F(6,3),所以=(6,3),=(3,-6),所以·=6×3+3×(-6)=0,所以⊥,所以AF⊥DE.AFDEAFDEAFDE【类题通法】1.向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法:方法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示和;③证明的值为0;④给出几何结论AB⊥CD.方法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2),再计算的值为0,从而得到几何结论AB⊥CD.CDABABCDCDABABCDABCD2.用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法:方法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示和;③寻找实数λ,使=λ,即;④给出几何结论AB∥CD.方法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2).利用向量共线的坐标关系x1y2-x2y1=0得到,再给出几何结论AB∥CD.以上两种方法,都是建立在A,B,C,D中任意三点都不共线的基础上,才有得到AB∥CD.ABCDCDABCDABCDABABCDABCDABCD【定向训练】1.在四边形ABCD中,若=-,·=0,则四边形为()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形【解析】选B.由=-知四边形ABCD是平行四边形,又·=0,所以⊥,所以此四边形为矩形.CDABBCABCDABBCABBCAB2.设O为△ABC内部的一点,且+2+3=0,则△AOC的面积与△BOC的面积之比为()A.B.C.2D.3【解析】选C.设AC的中点为D,BC的中点为E,则(+)+(2+2)=2+4=0,所以=-2,即O,D,E三点共线.所以S△OCD=2S△OCE,所以S△AOC=2S△BOC.OAOCOB3253OAOCOCOBOEODODOE【补偿训练】点O在△ABC所在平面内,给出下列关系式:则点O依次为△ABC的()A.内心、重心、垂心B.重心、内心、垂心C.重心、内心、外心D.外心、垂心、重心OAOBOC0ACABBCBAOA()OB()0ACABBCBA(OAOB)AB(OBOC)BC0.①++=;②==;③+=+=【解析】选C.①由于=-(+)=-2,其中D为BC的中点,可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC),所以O为△ABC的重心;②向量,分别表示在AC和AB上取单位向量′和′,它们的差是向量′,当=0,即OA⊥B′C′时,则点O在∠BAC的平分线上,同理,由=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内心;OAOCOBODABABACACACABBCACABOA()ACABBCBAOB()BCBA③+是以,为边的平行四边形的一条对角线,而是该四边形的另一条对角线,·(+)=0表示这个平行四边形是菱形,即||=||,同理有||=||,于是O为△ABC的外心.OAOBOAOBABABOAOBOAOBOBOC探究点二平面向量在物理中的应用【典例2】(1)一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________;(2)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示①求F3的大小;②求F2与F3的夹角.23【思维导引】(1)求出合力、位移的坐标表示→利用数量积求功(2)①由三个力处于平衡状态用F1,F2表示F3→用向量模的计算公式求F3的大小②用F1,F2表示F3→构造F2·F3→利用夹角公式求解【解析】(1)因为F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),=(-1,4),则F·=-1×8-8×4=-40,即三个力的合力所做的功为-40.答案:-40(2)①由题意|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,所以|F3|=|F1+F2|=.②设F2与F3的夹角为θ,因为F3=-(F1+F2),所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2,所以·2·cosθ=-1×2×-4,所以cosθ=-,所以θ=π.ABAB23114212()32=1()256323【类题通法】向量在物理中的应用1.求力向量,速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解.2.用向量方法解决物理问题的步骤:①把物理问题中的相关量用向量表示;②转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;③结果还原为物理问题.【知识延拓】向量的数量积与功有什么联系?提示:物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积.【补偿训练】在静水中划船速度的大小是每分钟40m,水流速度的大小是每分钟20m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?【解析】如图所示,设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以,为邻边作平行四边形OACB,连接OC.依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,所以∠BOC=30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.OAOBOAOB【定向训练】1.若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为()A.(5,0)B.(-5,0)C.D.-【解析】选C.因为=(1,1),=(-3,-2),所以|F1+F2|=.551OF2OF1OF2OF22(13)(12)5＝2.重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上,轻绳的另一端挂在半圆形支架上.如图所示,若A端位置固定不变,将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中,OA绳和OB绳的拉力如何变化?【解析】对结点O受力分析如图:结点O始终处于平衡状态,所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变,方向始终是竖直向上的,故OA绳受力大小变化情况:一直变小;OB绳受力大小变化情况是:先变小后变大.【补偿训练】一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m.已知|F1|=2N,方向为北偏东30°,|F2|=4N,方向为北偏东60°,|F3|=6N,方向为北偏西30°,求这三个力的合力F所做的功.【解析】以三个力的作用点为原点,正东方向为x轴正半轴,正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系.由已知可得F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3).所以F=F1+F2+F3=(2-2,4+2).又位移s=(4,4),所以F·s=(2-2)×4+(4+2)×4=24(J).故这三个力的合力F所做的功是24J.2363333232326【课堂小结】课堂素养达标1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是()A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形【解析】选B.因为=(8,0),=(8,0),所以=,因为=(4,-3),所以||=5,而||=8,故为邻边不相等的平行四边形.BAADBCADBCBABC2.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为()A.(9,1)B.(