新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件6431余弦定理

6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理基础预习初探1.回顾勾股定理及其逆定理:(1)在Rt△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的关系是________.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度数为________.提示:(1)c2=a2+b2(2)90°2.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a=3,b=4,C=60°,如何计算c的值?提示:方法一:如图,作AH⊥CB,垂足为H,在Rt△ACH中,AC=4,C=60°,∠CAH=30°,得CH=2,HB=1,AH=2,在△ABH中,由勾股定理,得c=AB=.1332222222:ABCABCBCA,ABCBCAABCBCA2CBCACBCA2CBCAcos60191623413c13.2方法二在中，所以（），得，所以【概念生成】1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=______________;b2=______________;(第一种形式)c2=_____________.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):cosA=_____________;cosB=______________;(第二种形式)cosC=______________.222bca2bc222acb2ac222abc2ab2.解三角形一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的_____.已知三角形的几个_____求其他_____的过程叫做解三角形.元素元素元素核心互动探究探究点一利用余弦定理计算边长【典例1】(1)在△ABC中,若a=2,b=,C=,则c=()A.1B.2C.3D.(2)已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为______,∠ADB=________.【思维导引】(1)利用余弦定理计算.(2)利用三角形内角和定理以及余弦定理计算.35613【解析】(1)选D.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+3-2×2×cos=13,所以c=.(2)由△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且A+B+C=π,可得∠B=.AB=1,BC=4,则BD=2,由余弦定理,得AD=在△ABD中,因为AB2+AD2=BD2,所以∠BAD=,∠ADB=.答案:356322ABBD2ABBDcos603.263613【类题通法】利用余弦定理解三角形的注意事项(1)如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.(2)注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.【定向训练】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,BC=1,AC=5,则AB=()【解析】选A.cosC=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,得AB2=25+1-2×5×1×(-)=32,所以AB=4.C5cos25，A.42B.30C.29D.25C225()535352【补偿训练】已知△ABC的三边长为a=2,b=2,c=+,解三角形.【解析】由余弦定理得cosA=又0°A180°,所以A=60°.cosB=又0°B120°,所以B=45°,所以C=180°-A-B=75°.3262222222bca22)(62)(23)12bc2222(62)(＝＝，222222acb23)(62)(22)22ac2223(62)(＝＝，探究点二利用余弦定理求角【典例2】(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为()(2)在不等边△ABC中,a为最大边,如果a2b2+c2,求角A的取值范围.【思维导引】(1)设等腰三角形的底边和腰,利用余弦定理的变形公式计算.(2)利用余弦定理的推论求角判断.5337A.B.C.D.18428【解析】(1)选D.设等腰三角形ABC的底边长为a,腰为b,则周长为a+2b,依题意,得a+2b=5a,所以b=2a,那么等腰三角形的顶角A的余弦值为cosA=(2)因为a2b2+c2,所以b2+c2-a20.则cosA=0,由于cosA在(0,π)上为减函数,cos=0,又因为A为△ABC的内角,所以0A.又a为三角形的最大边,所以A,所以角A的取值范围是.2222ba171.2b88222bca2bc223()32，【类题通法】由余弦定理求角的方法技巧(1)如果已知三角形的三边(即SSS)解三角形,那么通常运用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再求解.(2)由余弦定理的变形公式cosC=,容易得到下列常用的结论:C=90°⇔c2=a2+b2,C90°⇔c2a2+b2,C90°⇔c2a2+b2.提醒:若C是三角形的最大的角(含等边三角形),则C≥60°,若C是三角形的最小的角,则C≤60°.222abc2ab【定向训练】1.已知三角形的三边满足条件=1,则A=()A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.由题意得a2-b2-c2+2bc=bc,所以b2+c2-a2=bc,所以2bccosA=bc,所以cosA=,因为0°A180°,所以A=60°.22abcbc（）122.在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC=,则最大角的余弦值是______.【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=9,所以c=3,所以最大边为b,最大角为B,所以cosB=答案:-1314222acb1.2ac717探究点三由余弦定理判断三角形的形状【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能【思维导引】利用a3+b3=c3得到=1,且c为最大的边,通过不等式的性质转化为1,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.33ab()()cc22ab())cc＋(【解析】选A.依题意知,c边最大.因为a3+b3=c3,即a2+b2-c20,cosC=0,所以0C,所以△ABC为锐角三角形.333232322233abab)()1,0101ccccaaaabb))1)))(),ccccccabab)())()1,cccc所以(所以＜＜，＜＜，所以(＜(，所以((，(所以((222abc2ab＋2【类题通法】由余弦定理判断三角形形状的方法技巧(1)由三角形三边的关系式判断三角形的形状,通常利用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再确定角的大小或取值范围.(2)结合三角形的边长和角,判断三角形的形状,注意区分等腰三角形和等边三角形、等腰直角三角形与等腰或直角三角形等概念的异同.【定向训练】在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【解析】选D.因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,得(a-b)2=0,a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形.【补偿训练】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由b=2ccosA,得b=2c·,得b2=b2+c2-a2,c2=a2,所以c=a;又因为c=2bcosA,同理得a=b;所以a=b=c,△ABC为等边三角形.222bca2bc【课堂小结】课堂素养达标1.(2020·桂林高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=7,cosB=-,则c=()A.4B.5C.8D.10【解析】选B.a=3,b=7,cosB=-.由余弦定理:b2=a2+c2-2cacosB.即49=9+c2-6×(-)c.解得c=5(负值舍去).1212122.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定【解析】选C.由B=120°,得cosB=所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=0.222acb1,2ac23.已知三角形的三边长度分别为6,3,3,则三角形的最大内角的度数为()A.90°B.120°C.135°D.150°【解析】选C.因为三角形的三边长度分别为6,3,3,3是最大的边,则三角形的最大内角θ满足cosθ=又0°θ180°,所以θ=135°.21021010222632310222632（）（），4.在△ABC中,A=60°,最大边和最小边是方程x2-9x+6=0的两个正实数根,则边BC=________.【解析】因为A=60°,所以最大边和最小边所夹的角为A,AB,AC为x2-9x+6=0的两个正实数根,则AB+AC=9,AB×AC=6,所以BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cosA=(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cosA)=92-2×6×=63.所以BC=3.答案:33277