新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件712复数的几何意义

7.1.2复数的几何意义基础预习初探1.回顾平面直角坐标系与点的坐标:(1)在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点Z(a,b)对应的向量=_________,对应的复数z=_________.(2)在复平面内,复数z=a+bi,a,b∈R,对应的点Z的坐标为__________,对应的向量=__________.(a,b)a+bi(a,b)(a,b)OZOZ2.(1)若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点位于复平面内的第三象限,则复数的实部与虚部满足什么条件?提示:当a0,b0时,复数对应的点位于复平面内的第三象限.(2)虚轴上的点都表示纯虚数吗?提示:除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.(1)设Z(a,b),O为原点,则向量的模如何用a,b表示?提示:||=.(2)复数可以用向量表示,那么向量的模与复数的模有什么关系?提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模.用符号语言描述:|z|=||=.OZ22abOZ22abOZ4.复数z=a+bi与复数=a-bi对应的点有什么关系?提示:复数z=a+bi对应的点为(a,b),复数=a-bi对应的点为(a,-b),两点关于x轴对称.特别地,当b=0时,两点重合.ZZ【概念生成】1.复平面与复数的几何意义如图,这个建立了___________来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做___轴y轴叫做___轴.实轴上的点都表示实数;除_____外,虚轴上的点都表示纯虚数.直角坐标系实虚原点2.复数的几何意义已知原点O,复数z=a+bi,a,b∈R既可以与点Z(a,b)建立一一对应,又可以与平面向量建立一一对应关系,三者的关系如下:OZ3.复数的模(或绝对值)向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即=________,其中a,b∈R.如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于(实数a的绝对值).4.共轭复数一般地,当两个复数的实部_____,虚部互为_____数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用___表示,即如果z=a+bi,那么___=a-bi,其中a,b∈R.OZ|z||abi|22ab|a|相等相反zz核心互动探究探究点一复数与点的一一对应【典例1】1.在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.1+2iB.1+3iC.3+3iD.3+4i2.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点(1)位于第四象限;(2)位于直线y=x+1上.【思维导引】1.利用相等向量计算,也可以利用线段的中点坐标公式计算;2.根据点的位置列方程或不等式组求解.【解析】1.选B.方法一:在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),B(-2,1),设线段AB的中点C为(x,y),则,即(x-4,y-5)=(-2-x,1-y),得x-4=-2-x,y-5=1-y,解得x=1,y=3.所以C(1,3)对应的复数为1+3i.ACCB方法二:复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),B(-2,1),则线段AB的中点C(1,3),所以C(1,3)对应的复数为1+3i.2.(1)由⇒解得-2m3或5m7.此时复数z对应的点位于第四象限.(2)要使复数z表示的点在直线y=x+1上,需m2-5m-14=m2-8m+15+1,解得m=10.此时,复数z对应的点位于直线y=x+1上.22m8m150,m5m140m3m5,2m7或【类题通法】复数与点的对应关系及应用(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的方程(组)或不等式(组)求解.【定向训练】1.已知i为虚数单位,a∈R,若a2-1+(a+1)i为纯虚数,则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为i为虚数单位,a∈R,a2-1+(a+1)i为纯虚数,所以解得a=1,所以z=1-i,z=1-i在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),所以该点位于第四象限.2a10,a102.实数m取什么值时,复数z=2m+(4-m2)i在复平面内对应的点在(1)虚轴上?(2)第一、三象限?(3)以原点为圆心,4为半径的圆上?【解析】(1)若复数z在复平面内对应的点位于虚轴上,则2m=0,即m=0.(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限,则2m(4-m2)0,解得m-2或0m2.(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心,4为半径的圆上,则=4,即m4-4m2=0,解得m=0或m=±2.2224m4m＋（）探究点二复数与向量的一一对应【典例2】1.已知A(1,2),B(-3,5),则向量对应的复数为()A.1+2iB.-3+5iC.-2+7iD.-4+3iAB2.已知向量对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对称点为A1,将向量平移,使其起点移动到A点,这时终点为A2.(1)求向量对应的复数;(2)求点A2对应的复数.【思维导引】1.求出向量的坐标,再确定对应的复数.2.根据复数与点以及复数与向量的对应关系求解.OA1OA1OAAB【解析】1.选D.由于A(1,2),B(-3,5),则向量=(-4,3),所以对应的复数为-4+3i.2.(1)因为向量对应的复数是4+3i,所以点A对应的复数也是4+3i,因此点A坐标为(4,3),所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),故向量对应的复数是4-3i.ABABOA1OA(2)依题意知=,而=(4,-3),设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),所以x=8,y=0,即A2(8,0).所以点A2对应的复数是8.1OA2AA1OA【类题通法】复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点O为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.提醒:向量是自由向量,其长度与方向与起点的位置无关,=(xB-xA,yB-yA),对应的复数的实部和虚部分别是向量的横坐标和纵坐标.OZAB【定向训练】已知平面直角坐标系中O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是()A.-5+5iB.5-5iC.5+5iD.-5-5iOAOBBA【解析】选B.向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量=(2,-3),=(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量对应的复数是5-5i.OAOBOAOBBAOAOB＝－BA【补偿训练】在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为()A.-2-iB.-2+iC.1+2iD.-1+2iOAOB【解析】选B.因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以对应的复数为-2+i.OB探究点三共轭复数与复数的模【典例3】1.已知复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i,a∈R互为共轭复数,则z=()A.3+4iB.3-5iC.5iD.-5i2.已知z∈C,|z|=5,求z表示的点的轨迹.【思维导引】1.两个共轭复数实部相等,虚部相反,且二者的模相等.2.设复数z对应位置向量,其中O为原点,根据圆的对应判断轨迹形状.OZ【解析】1.选D.因为复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i互为共轭复数,则|z|=|z1|=|z2|,得==5,所以a=0,z2=5i,z==-5i.2.设复数z对应位置向量,其中O为原点,根据|z|=5,得||=5,由圆的定义,动点Z的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,即复数z表示的点的轨迹是圆.22a52234（）2zOZOZ【类题通法】明确复数的模即两点间的距离问题1.复数的模表示对应向量的长度,也就是对应的两点之间的距离.2.注意复平面上两点间的距离公式的多角度应用:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),=(a,b),=(c,d),则=.1OZ2OZ121221|zz||OZOZ||ZZ|22acbd（）（）【定向训练】1.设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1||z2|,则实数a的取值范围是()A.a-1或a1B.-1a1C.a1D.a0【解析】选B.因为|z1|=,|z2|==,所以,即a2+45,所以a21,解得-1a1.2a44152a452.已知复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A,B,则向量=______.|AB|【解析】复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A(-2,1),B(1,-3),则向量=(3,-4),所以=5.答案:5AB|AB|【课堂小结】课堂素养达标1.复平面内,复数z=2-3i对应的点的坐标为()A.(2,3)B.(2,-3)C.(3,2)D.(-3,2)【解析】选B.复数z=2-3i=2+(-3)i对应点的坐标为(2,-3).2.在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为2π,所以sin20,cos20.故z=sin2+icos2对应的点在第四象限.23.已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于()A.-1+iB.1+iC.-1+i或1+iD.-2+i333333【解析】选A.因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a0.由|z|=2知,=2,解得a=±1.故a=-1,所以z=-1+i.22a3（）34.复平面内,点(0,-3)对应的复数为______.【解析】点(0,-3)对应的复数为-3i.答案:-3i