新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件82立体图形的直观图

8.2立体图形的直观图基础预习初探1.观察下面的图形,回答有关问题:(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化?提示:由直角变成锐角或钝角.(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察你能发现什么?提示:从位置关系看:图1中平行的直线,在图2中保持平行.从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.2.观察正四棱锥P-ABCD及其直观图,回答下面的问题:(1)在画上述正四棱锥的直观图时,与z轴重合或平行的线段在直观图中有何变化?提示:与z轴重合或平行的线段在直观图中与z′轴重合或平行且长度不变.(2)空间几何体的直观图一定唯一吗?为什么?提示:不一定,作直观图时,由于观察的角度不同及建系方法差异,所画直观图不一定相同.【概念生成】1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相_____的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段.(3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_____,平行于y轴的线段,长度变为原来的_____.垂直平行不变一半2.画空间几何体的直观图的步骤(1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°,∠xOz=90°.(2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.(3)在几何体中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴、y′轴或z′轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.(4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度_____,平行于y轴的线段,长度为原来的_____.(5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间几何体的直观图.平行不变一半核心互动探究探究点一画平面图形的直观图【典例1】用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图.【思维导引】(1)建立平面直角坐标系.(2)确定不在坐标轴上的点.(3)建立坐标系xOy后,B,E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上,故需作BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于H.【解析】第一步:如图(1)所示,在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点O与y轴垂直的是x轴,分别过B,E作BG⊥x轴,EH⊥x轴,与x轴分别交于点G,H.画对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.第二步:如图(2)所示,以点O′为中点,在x′轴上取G′H′=GH,分别过G′,H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴使G′B′=GB,作H′E′∥y′轴使H′E′=HE,在y′轴的点O′上方取O′A′=OA,在y′轴的点O′下方取O′F′=OF,并且以点F′为中点,画C′D′∥x′轴,且使C′D′=CD.12121212第三步:连接A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,E′A′,所得五边形A′B′C′D′E′就是五边形ABCDE的直观图,如图(3)所示.【类题通法】直观图中应遵循的基本原则(1)一斜:原图中坐标轴的夹角∠xOy=90°,直观图中坐标轴的夹角为∠x′O′y′=45°(或135°).(2)二测:平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的.12【定向训练】1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是()A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.角的水平放置的直观图一定是角C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直【解析】选B.斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形,故选项A错误;选项B说法正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条相交直线的直观图仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线,故选项D错误.2.用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图.【解析】(1)在已知图中,以O为坐标原点,以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系,过点A作AM垂直x轴于点M,如图1.另选一平面画直观图,任取一点O′,画出相应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.(2)在x′轴上取点B′,M′,使O′B′=OB,O′M′=OM,过点M′作M′A′∥y′轴,取M′A′=MA.连接O′A′,B′A′,如图2.(3)擦去辅助线,则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图.12【补偿训练】如图所示,画出水平放置的四边形OBCD的直观图.【解析】(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图(1)所示.画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(2)所示.(2)如图(2)所示,在x′轴正半轴上取点B′,E′,使得O′B′=OB,O′E′=OE;在y′正半轴上取一点D′,使得O′D′=OD;过E′作E′C′∥y′轴,使E′C′=EC.(3)连接B′C′,C′D′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图(3)所示,四边形O′B′C′D′就是所求作的直观图.1212探究点二空间图形直观图的画法【典例2】用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF是正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).【思维导引】先画出正六边形的直观图,再画出对应的正六棱锥的直观图即可.【解析】画法:(1)画六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴相交于O(如图1所示),画相应的x′轴和y′轴、z′轴,三轴交于O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°(如图2所示).②在图2中,以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴上取M′N′=MN,以点N′为中点画B′C′平行于x′轴,并且等于BC;再以M′为中点画E′F′平行于x′轴,并且等于EF.12③连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画六棱锥P-ABCDEF的顶点,在O′z′轴上截取O′P′=OP.(3)成图.连接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′,并擦去x′轴、y′轴、z′轴,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′(图3).【类题通法】简单几何体直观图的画法规则:(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.【定向训练】一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几何体的直观图.【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的两底面,在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上O′上方截取点P,使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图.如图2所示.探究点三直观图的还原与计算【典例3】(1)如图所示,ABCD是一个平面图形的斜二测直观图,则该平面图形是()A.平行四边形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形(2)如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是()A.6B.3C.6D.1222【思维导引】(1)利用直观图与原图形的位置关系判断.(2)利用直观图与原图形的长度关系求原图形的面积.【解析】(1)选C.斜二测直观图形中,BC∥AD,且平行于x′轴,AB平行于y′轴,所以平面图形中,BC∥AD,且平行于x轴,AB平行于y轴,故四边形为直角梯形.(2)选D.由斜二测画法的规则可得△OAB为直角三角形,且∠AOB=90°,OA=6,OB=4,所以△OAB的面积为S△OAB=×4×6=12.12【类题通法】由直观图还原平面图形的思路技巧(1)注意直观图中的“变”与“不变”.在用平面图形表示其直观图时,不变的有:①平行关系不变;②点的共线性不变;③线的共点性不变.“变”的有:①角的大小有变化;②垂直关系有变化;③某些线段的长度有变化.(2)注意逆向运用斜二测画法规则,即“水平长不变,垂直长增倍”.【定向训练】1.已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示),其中A′D′=2,B′C′=4,A′B′=1,则直角梯形DC边的长度是()A.5B.22C.25D.3【解析】选B.根据斜二测画法,原来的高变成了45°方向的线段,且长度是原高的一半,所以原高为AB=2.而横向长度不变,且梯形ABCD是直角梯形,所以DC=2222ABBCAD42222.（）（）2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,若O′B′=1,那么原△ABO的面积是()【解析】选C.根据斜二测的原理可得△ABO是直角三角形,两直角边BO=O′B′=1,AO=2A′O′=2,故原△ABO的面积是12A.B.C.2D.2222212212.2【补偿训练】如图,某直观图中,A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,则该直观图所表示的平面图形是()A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选D.由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后原图AC∥y轴,BC∥x轴.直观图还原为平面图形是直角三角形.【课堂小结】课堂素养达标1.下列关于直观图的说法不正确的是()A.原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图中y′轴,长度不变B.原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图中x′轴,长度不变C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′可以画成135°D.在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同【解析】选A.平行于y轴的线段,直观图中长度变为原来的一半,故A错.2.下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是()A.正三角形的直观图是正三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.矩形的直观图是矩形D.圆的直观图是圆【解析】选B.直观图改变了原图中角的大小及图形的形状,所以A,C,D都不正确.3.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()【解析】选A.由题意可知,直观图如图所示:分别过C,D作AB的垂线,E,F为垂足.因为CD=1,所以EF=1.又因为BC=AD=1,∠A=∠B=45°,1222A.22B.C.D.1222所以CE=DF=BE=AF=,所以AB=+1.S直观图=又因为所以S原图形=222121221.222S2,S4直观图原图形42122.224.在已知图形中平行于x轴的线段AB=6cm,则在直观图中线段A′B′=________cm;在已知图形中平行于y轴的线段CD=4cm,则在直观图中线段C′D′=________cm.【解析】由于平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变,则A′B′=AB=6cm;由于平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半,则C′D′=CD=2cm.答案:6212