新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件863平面与平面垂直一

8.6.3平面与平面垂直(一)基础预习初探1.如图,教室内的门与墙面,观察当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.(1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?提示:二面角.(2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?提示:二面角的平面角.2.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度?提示:可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°.3.如何定义两个平面互相垂直?提示:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.4.如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么?提示:两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.【概念生成】1.二面角及其平面角二面角概念从一条直线出发的两个_______所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的___,这两个半平面叫做二面角的___图示半平面棱面平面角文字在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于___的射线,则这两条射线构成的___叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的_______来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是_____的二面角叫做直二面角棱角平面角直角2.平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的_____,那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β作用判断两个平面_____垂线垂直核心互动探究探究点一二面角及其解法【典例1】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是AB的中点.(1)求证:AC1∥平面CDB1;(2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1,AC=BC=,求二面角B1-CD-B的大小.2【思维导引】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED,根据三角形中位线得到ED∥AC1,进而得到线面平行.(2)根据二面角的定义可证得∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角,在三角形BDB1中求解即可.【解析】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED.因为ABC-A1B1C1是三棱柱,所以四边形BCC1B1为平行四边形.所以E是BC1的中点.因为点D是AB的中点,所以ED是△ABC1的中位线,所以ED∥AC1,又ED⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.(2)∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.事实上,因为AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以AA1⊥CD.在△ABC中,AC=BC,D是底边AB的中点,所以CD⊥AB.因为CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,所以CD⊥平面ABB1A1,因为DB1⊂平面ABB1A1,DB⊂平面ABB1A1,所以DB1⊥CD,DB⊥CD,所以∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.在直角三角形B1DB中,BB1=1,DB=AB=1,所以△B1DB为等腰直角三角形,所以∠BDB1=45°.即所求二面角为45°.12【类题通法】1.求二面角的平面角的步骤(1)作:找出或作出二面角的平面角.(2)证:证明所找或作的角就是二面角的平面角.(3)求:在三角形中解出角的大小.2.二面角的平面角的常见作法(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.【知识延拓】(2019·浙江高考)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.βγ,αγB.βα,βγC.βα,γαD.αβ,γβ【解析】选B.方法一,如图,G为AC的中点,V在底面ABC的投影为O,则P在底面的投影D在线段AO上,过D作DE垂直AC于E,易得PE∥VG,过P作PF∥AC交VG于F,过D作DH∥AC,交BG于H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,则cosα==cosβ,即αβ,tanγ==tanβ,即γβ,综上所述,答案为B.PFEGDHPBPBPBBDPBPDPDEDBD方法二:(特殊位置)取V-ABC为正四面体,P为VA中点,易得cosα=⇒sinα=,sinβ=,sinγ=可知B选项正确.3633623223【定向训练】1.(多选题)在三棱锥C-ABD中(如图),△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形,O为斜边BD的中点,AB=4,二面角A-BD-C的大小为60°,下面结论中正确的是()A.AC⊥BDB.AD⊥COC.cos∠ADC=D.四面体ABCD的外接球表面积为32π32【解析】选AD.因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形,O为斜边BD的中点,所以CO⊥BD,AO⊥BD,AO∩OC=O,所以BD⊥平面AOC,所以AC⊥BD,因此A正确;假设CO⊥AD,又CO⊥BD,可得CO⊥平面ABD,又由题知∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°,矛盾,因此B不正确;AB=4,AC=OA=,AD=CD=4,所以cos∠ADC=,因此C不正确;四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为,表面积S=4π×()2=32π,因此D正确.222222422332442（）＝22222.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是________.【解析】如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ==sin30°·sin60°=.答案:AOACAO·ABABAC＝34343.(2019·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.PF1PC3PG2PB3【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为CD⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.(2)在PD上取点M,使,连接FM,PM1PD3在△PCD中,因为,所以FM􀱀CD,FM=,由(1)知,CD⊥平面PAD,所以FM⊥平面PAD,又AE⊂平面PAD,所以FM⊥AE,在△PAD中,E是PD中点,PA=AD=2,所以AE⊥PD,PD=,又因为FM,PD⊂平面EFM,FM∩PD=M,所以AE⊥平面EFM,又EF⊂平面EFM,所以AE⊥EF,所以∠FEM为二面角F-AE-P的平面角.在△PCD中,PD=,PE=,PM=PD=,EM=,PF1PC32322222132232313在Rt△EFM中,,cos∠FEM=,所以二面角F-AE-P的余弦值为.226EFEMFM3EM3EF333(3)取CF中点N,连接DN,GN,在△PDN中,E,F分别为PD,PN的中点,所以EF∥DN,在△PBC中,,又BC=3,所以GN∥BC,GN=2,又因为AD∥BC,AD=2,所以GN􀱀AD,四边形ADNG是平行四边形,所以AG∥DN,又因为EF∥DN,所以AG∥EF,又因为AG与平面AEF有公共点,所以AG⊂平面AEF.PGPN2PBPC3探究点二平面与平面垂直的判定【典例2】如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:(1)ED=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA.(3)平面DEA⊥平面ECA.【思维导引】(1)要证DE=DA,只需取EC中点F,连接DF并证明Rt△EFD≌Rt△DBA.(2)注意M为EA的中点,可取CA的中点N,先证明N点在平面BDM内,再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可.(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.【证明】(1)取EC的中点F,连接DF.因为EC⊥BC,CE=2BD,易知DF∥BC,所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中,因为EF=EC=BD,FD=BC=AB,∠EFD=∠DBA=90°,所以Rt△EFD≌Rt△DBA,所以ED=DA.12(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN􀱀EC,所以MN∥BD,所以N点在平面BDM内.因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN.又CA⊥BN,CA∩EC=C,所以BN⊥平面ECA.因为BN在平面MNBD内,所以平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.(3)因为BD􀱀EC,MN􀱀EC,所以BD􀱀MN,所以四边形MNBD为平行四边形,所以DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.121212【类题通法】1.证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.2.根据面面垂直的定义判定两平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角,通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转化为证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.【定向训练】1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.【证明】因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因为CD⊂平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.2.如图所示,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.求证:平面PQC⊥平面DCQ.12【证明】由四边形ABCD为正方形,可得CD⊥AD,又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CD,PD⊥AD,故CD⊥平面AQPD,从而CD⊥PQ.如图所示,取PD的中点E,连接QE.因为PD∥QA,QA=PD,则DE∥AQ,且DE=AQ,从而四边形AQED是平行四边形,则QE∥AD,所以QE⊥PD,所以DQ=QP.12设QA=1,则AB=1,PD=2.在△DQP中,DQ=QP=,PD=2.所以DQ2+QP2=PD2,故∠PQD=90°,即DQ⊥PQ.又CD∩DQ=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.23.(2020·江苏高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,