新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测61平面向量的概念Word版含解析

1、课时素养检测一平面向量的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列说法中,正确的个数是()①时间、摩擦力、重力都是向量;②向量的模是一个正实数;③相等向量一定是平行向量;④向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.对于①,时间没有方向,不是向量,摩擦力、重力都是向量,故①错误;对于②,零向量的模为0,故②错误;③正确,相等向量的方向相同,因此一定是平行向量;④显然正确.【补偿训练】下列说法正确的是()A.向量∥就是所在的直线平行于所在的直线B.长度相等的向量叫做相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选C.向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;按定义,零向量长度等于0,故C正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D错.2.在四边形ABCD中,∥,||≠||,则四边形ABCD是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形【解析】选A.因为。

2、∥,所以AB∥CD.又因为||≠||,所以AB≠CD.所以四边形ABCD是梯形.【补偿训练】若||=||且=,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【解析】选C.由=,可知四边形ABCD为平行四边形,又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.3.(多选题)设O是等边三角形ABC的外心,则,,是()A.有相同起点的向量B.平行向量C.相等向量D.模相等的向量【解析】选AD.因为O是等边三角形ABC的外心,起点都是O,外心为各边垂直平分线的交点,所以||=||=||.4.在菱形ABCD中,∠DAB=120°,关于四边及对角线所在的向量,以下说法错误的是()A.与相等的向量只有一个(不含)B.与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为模的倍D.与不共线【解析】选D.两向量相等要求长度(模)相等,方向相同.两向量共线只要求方向相同或相反.D中,所在直线平行,向量方向相同,故共线.【补偿训练】数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量的长度是()A.-1B.2C.1D.3【解析】选D.||=2-(-1)=3.5.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则|。

3、|=()A.1B.C.2D.2【解析】选D.易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2.6.(多选题)有下列说法,其中正确的说法是()A.若a≠b,则a一定不与b共线B.若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点C.在▱ABCD中,一定有=D.若a=b,b=c,则a=c【解析】选CD.对于A,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故A不正确;对于B,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故B不正确;对于C,在▱ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故C正确;对于D,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=________.【解析】因为正方形的对角线长为2,所以||=.答案:【补偿训练】如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)。

4、,则向量长度的最小值为________.【解析】结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.答案:8.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有________;(2)若||=3,则||=________.【解析】(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,可知与向量相等的向量有,.(2)因为||=3,||=2||,所以||=6.答案:(1),(2)6三、解答题(每小题14分,共28分)9.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量,,;(2)求向量的模.【解析】(1)作出向量,,,如图所示:(2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米).所以||=5米.【补偿训练】如图是4×3的矩形(每个小方。

5、格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为的向量共有几个?与向量方向相同且模为3的向量共有几个?【解析】(1)依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个.10.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=.求证:=.【证明】因为=,所以||=||且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以||=||且DA∥CB.同理可得,四边形CNAM是平行四边形,所以=,所以||=||,所以||=||,又与的方向相同,所以=.。