新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测635平面向量数量积的坐标表示Word版含解

课时素养检测九平面向量数量积的坐标表示(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈,则|a+b|的取值范围是()A.[0,]B.[1,]C.[1,2]D.[,2]【解析】选D.|a+b|==.因为θ∈,所以cosθ∈[0,1].所以|a+b|∈[,2].2.已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O为坐标原点),则点C的坐标是()A.B.C.D.【解析】选B.设C(x,y),则=(x,y).又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1).因为∥,所以5(x+3)-0·(y-1)=0,所以x=-3.因为=(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为⊥,所以3x+4(y-5)=0,所以y=,所以C点的坐标是.【补偿训练】已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=()A.B.C.D.(1,0)【解析】选B.方法一:设b=(x,y),其中y≠0,则a·b=x+y=.由解得即b=.方法二:利用排除法.D中,y=0,所以D不符合题意;C中,向量不是单位向量,所以C不符合题意;A中,向量使得a·b=2,所以A不符合题意.3.若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.x应满足(x,2)·(-3,5)0且a,b不共线,解得x,且x≠-,所以x.4.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以·=2×8+(-4)×4=0,即⊥.所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.【补偿训练】已知向量=,=,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选A.因为·=×+×=,==1,所以cos∠ABC==,即∠ABC=30°.5.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·最小,此时点P的坐标为(3,0).6.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是()A.|a|=|b|B.a·b=C.a-b与b垂直D.a∥b【解析】选ABD.由题意知|a|==1,|b|==,a·b=1×+0×=,(a-b)·b=a·b-|b|2=-=0,故a-b与b垂直.由题意易得a∥b错误.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知a=(2,1),b=(m,6),向量a与向量b的夹角θ是锐角,则实数m的取值范围是________.【解析】因为向量a与向量b的夹角θ是锐角,所以cosθ=0,所以a·b=2m+60,得m-3,又当a与b同向时,=,所以m=12.所以m-3且m≠12.答案:m-3且m≠128.(双空题)(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=________;·=________.【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=,又=(0,-1),所以·=-1.答案:-1【补偿训练】(2019·浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1,当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________,最大值是________.【解析】λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的值最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|min=0,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|2=|(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)|2=(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤(|λ1|+|λ3|+|λ5-λ6|)2+(|λ2|+|λ4|+|λ5+λ6|)2=(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2=8+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)+(λ5-λ6)2+(λ5+λ6)2=8+4+2+2=12+4=12+4=20,等号成立当且仅当λ1,-λ3,λ5-λ6均非负或者均非正,并且λ2,-λ4,λ5+λ6均非负或者均非正.比如λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,λ5=1,λ6=1,则|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|max==2.答案:02三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.【解析】(1)设c=(x,y),因为|c|=2,所以=2,所以x2+y2=20.由c∥a和|c|=2,可得解得或故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,所以cosθ==-1.又θ∈[0,π],所以θ=π.10.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点M为直线OP上的一个动点.(1)当·取得最小值时,求点M的坐标;(2)在点M满足(1)题的条件下,求∠AMB的余弦值.(提示:建立·的目标函数)【解析】(1)设=(x,y).因为点M在直线OP上,所以向量与共线,又=(2,1),所以x=2y,所以=(2y,y),所以=-=(1-2y,7-y),同样,=-=(5-2y,1-y),于是·=(1-2y)·(5-2y)+(7-y)·(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,所以当y=2时,·有最小值-8,此时M(4,2).(2)=(-3,5),=(1,-1),所以||=,||=,·=-8,所以cos∠AMB===-.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共12分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若a=(2,1),b=(3,4),则向量a在向量b方向上的投影为()A.2B.2C.D.10【解析】选B.a=(2,1),b=(3,4),则a·b=2×3+1×4=10,|b|==5,则向量a在向量b方向上的投影为==2.【补偿训练】已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量b在a方向上的投影为3,则实数m=()A.3B.-3C.D.-3【解析】选C.根据题意得==3,解得m=.2.若a=(2,-3),b=(x,2x)且3a·b=4,则x等于()A.3B.C.-D.-3【解析】选C.因为3a·b=3(2,-3)·(x,2x)=(6,-9)·(x,2x)=6x-18x=-12x=4,所以x=-.3.(多选题)已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k等于()A.1B.6C.2D.3【解析】选AB.=-=(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若∠A为直角,则·=4k-4=0,所以k=1.若∠B为直角,则·=(-4,-2)·(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以k=6.若∠C为直角,则·=0,即(-k,2)·(4-k,4)=0,方程无解,综上知k的值为1或6.二、填空题(每小题4分,共20分)4.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cosθ(θ是a,b的夹角)=________.【解析】cosθ(θ是a,b的夹角)===-.答案:-5.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.【解析】因为向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以=,即=,所以=,解得m=2.答案:26.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.【解析】如图所示,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设CD=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,b)(0≤b≤a),则=(2,-b),=(1,a-b),所以+3=(5,3a-4b),所以|+3|=≥5,所以|+3|的最小值为5.答案:57.(2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=________.【解析】方法一:如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形.因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为∠BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.因为==-=-,所以·=(-)·=·--=×2×5×-12-10=-1.方法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因为AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.由得x=,y=-1,所以E(,-1).所以·=·(,-1)=-1.答案:-1【补偿训练】(2019·江苏高考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是________.【解析】如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.6·=3·(-)=(+)·(-)=(+)·===·-+=·,得=,即||=||,故=.答案:8.(双空题)设非零向量a与b的夹角是,且|a|=|a+b|,则当t=____________时,取得最小值是__________.【解析】因为非零向量a与b的夹角是.且|a|=|a+b|,所以|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|·|b|cos,所以|b|2-|a||b|=0,所以|b|=|a|,所以===t2-2t+=(t-1)2+,所以当t=1时,取最小值=.答案:1三、解答题(共38分)9.(12分)已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.【解析】(1)因为a∥b,所以3x=4×9,所以x=12.因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3,所以b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).设m,n的夹角为θ,则cosθ====-.因为θ∈[0,π],所以θ=,即m,n的夹角为.10.(12分)已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).(1)求·及在上的投影;(2)证明:A,B,C三点共线,且当=时,求λ的值;(3)求||的最小值.【解析】(1)·=8,设与的夹角为θ,则cosθ===,所以在上的投影为||cosθ=4×=2.(2)=-=(-2,2),=-=(1-λ)·-(1-λ)=(λ-1),所以A,B,C三点共线.当=时,λ-1=1,所以λ=2.(3)||2=