新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测6431余弦定理Word版含解析

课时素养检测十一余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a=()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得3=a2+1-2a×1×cos,即a2+a-2=0.解之得a=1或a=-2(舍去),所以a=1.2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=3,b=,c=2,那么B等于()A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.因为a=3,b=,c=2,所以cosB===.又因为B为三角形内角,所以B=60°.3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=,a=7,c=6,则b=()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2b·6·,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去).4.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶6,那么△ABC是()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.非钝角三角形【解析】选B.因为a∶b∶c=3∶5∶6,所以可设a=3t,b=5t,c=6t,由余弦定理可得cosC==-,因为0Cπ,所以C∈,故△ABC是钝角三角形.5.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为()A.60°B.90°C.120°D.150°【解析】选D.由已知得,c2=a2+b2+ab,所以ca,cb,故C为最大内角.由余弦定理,得cosC==-,又C∈(0,π),所以C=,即C=150°.6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则()A.c=1B.c=2C.sinA=D.sinA=【解析】选BD.根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cosA==,所以sinA==.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________.【解析】方法一:在△ABC中,由余弦定理,得cosA===,设中线长为x,由余弦定理,知x2=92+42-2×9×4×=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).则=(+),所以=(++2·)=(92+72+2||||cos∠ABC)由余弦定理,得2||||cos∠ABC=||2+||2-||2=92+72-82,所以||2=(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.答案:78.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sinA=______.【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理,得cosA==,则sinA==.答案:【补偿训练】已知在△ABC中,a=2,b=4,c=3,则cosB=________.【解析】cosB==-.答案:-三、解答题(每小题14分,共28分)9.在△ABC中,已知sinC=,a=2,b=2,求边c.【解析】因为sinC=,且0Cπ,所以C为或.当C=时,cosC=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.当C=时,cosC=-,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=2.所以边c的长为2或2.10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sinAsinB=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+,化简得-2cosAcosB+2sinAsinB=,故cos(A+B)=-,所以cosC=-cos(A+B)=,又C∈(0,π),从而C=.(2)如图S△ABC=a·ha=absinC,由S△ABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=10,得c=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=()A.B.C.D.【解析】选C.因为cos∠BAC===-,又因为0∠BACπ,所以∠BAC=.2.在△ABC中,a2+b2-c2+ab=0,则C等于()A.30°B.45°C.120°D.135°【解析】选D.由a2+b2-c2+ab=0知,a2+b2-c2=-ab,由余弦定理得cosC==-,因为0°C180°,所以C=135°.【补偿训练】在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为()A.B.C.D.【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理得cosA===-,又因为0Aπ,所以A=.3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,S为△ABC的面积,则()A.B=60°B.sinA=C.sinC=D.S=10【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角和面积.【解析】选ABD.最小的角为A,最大的角为C,则cosA==,cosB==,cosC==,则sinA==,S=ch=cbsinA=10.又0°B180°,所以B=60°.4.在△ABC中,cos2=,则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2=,所以=,有cosB==.整理得a2+b2=c2,故C=,△ABC为直角三角形.【补偿训练】在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则∠BAC为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选B.如图,设BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得,即14+2x2=20,解得x=,即BC=2.则cos∠BAC==,且0°∠BAC180°,所以∠BAC=60°.二、填空题(每小题4分,共16分)5.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=,c=,则b=________.【解析】由余弦定理得a2=6=b2+5-2·b·cos60°,即b2-b-1=0,解得b=或b=(舍去).答案:6.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为________.【解析】因为(a+b)2-c2=4,所以c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4.由余弦定理可知:c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos60°=a2+b2-ab,所以a2+b2+2ab-4=a2+b2-ab,即2ab-4=-ab,解得ab=.答案:7.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为________.【解析】因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,所以BD2=18+9-2×3×3×=3,所以BD=.答案:8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=,则B=________.【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2-bc,所以b2-a2=bc-c2,与ac=b2-a2联立,得ac+c2-bc=0,即c=b-a,代入ac=b2-a2,得a(b-a)=b2-a2,解得b=a,所以c=b-a=2a,所以cosB===,又因为B∈(0,π),所以B=.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连接EC,ED,求sin∠CED.【解析】由题意知CD=1,CE===,DE===,所以cos∠CED===,所以sin∠CED===.10.(12分)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,求实数a的取值范围.【解析】因为b=3,c=4,且△ABC是锐角三角形,所以cosA==0,且cosC==0,所以7a225,所以a5,所以实数a的取值范围是(,5).11.(14分)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=,4a-3cosA=0.(1)求a的值;(2)若B=λA,求λ的值.【解析】(1)因为4a-3cosA=0,故4a=3cosA,由余弦定理4a=3×,因为c=,b=,所以12a2+80a-147=0,解得a=或a=-(舍去),故a=.(2)由(1)可知cosA=×=,所以sinA=,故cos2A=cos2A-sin2A=,因为a=,c=,b=,所以cosB==,所以cos2A=cosB,因为△ABC中,cba,故B=2A,即λ的值为2.