新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测6432正弦定理Word版含解析

课时素养检测十二正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(2020·珠海高一检测)锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是()A.sinAcosBB.sinBcosAC.sinAsinBD.sinBcosA【解析】选D.因为锐角△ABC中,0CA+Bπ,所以A-B0,因为sinAsin=cosB,故选A选项不正确;因为sinA与sinB大小不定,所以C选项不正确;所以cosAcos=sinB,所以B不正确,D选项正确.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,∠B=60°,则∠C=()A.30°B.45°C.150°D.30°或150°【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.【解析】选A.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,∠B=60°,则由正弦定理可得=,所以sinC==,因为cb,所以C=30°.3.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则得此三角形()A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定【解析】选B.如图,因为bsinAab,所以B有两解.4.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于()A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6【解题指南】sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.【解析】选B.因为(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,所以==.令===k(k0),则解得所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.【补偿训练】在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于()A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.1∶∶2D.2∶∶1【解析】选C.因为A∶B∶C=1∶2∶3,A+B+C=π,所以A=,B=,C=,由正弦定理,得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶∶2.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB+bcosA=4sinC,则△ABC的外接圆面积为()A.16πB.8πC.4πD.2π【解题指南】设△ABC的外接圆半径为R,由acosB+bcosA=4sinC,利用余弦定理化简可得c=4sinC,利用正弦定理可求2R==4,解得R=2,从而可得结果.【解析】选C.设△ABC的外接圆半径为R,因为acosB+bcosA=4sinC,所以由余弦定理可得a×+b×==c=4sinC,所以2R==4,解得R=2,所以△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π.【补偿训练】在△ABC中,若sinA=,a=10,则边长c的取值范围是()A.(0,10)B.(10,+∞)C.D.【解析】选D.由正弦定理,得=,得c==sinC,又sinC∈(0,1],所以c∈(0,].6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足sinB=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能正确的是()A.a=2bB.b=2cC.B=D.C=【解析】选AD.由题意,得sinB+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,得C=或2b=a.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=,则b=________.【解析】因为在△ABC中,A=105°,C=45°,所以B=180°-A-B=180°-105°-45°=30°.再由正弦定理=,即=,解得b=1.答案:18.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为________.【解析】如图所示,由正弦定理,得sinC==.而cb,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=bcsinA=或.答案:或三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知△ABC中,a=,b=,B=45°,求A,C和边c.【解析】由正弦定理=,得sinA=.因为ab,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==,当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.10.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.【解析】(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cosA===-.由于0Aπ,所以sinA===.故sin=sinAcos+cosAsin=×+×=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知在△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于()A.150°B.90°C.60°D.30°【解析】选D.由正弦定理,得=,得sinA=.又ab,所以AB=45°,所以A=30°.2.在△ABC中,若∠A∠B,则下列结论一定正确的是()A.sinAsinBB.sinAsinBC.sinAcosBD.cosAcosB【解题指南】先由三角形大角对大边,再由正弦定理变形公式判断.【解析】选A.设∠A,∠B对应的边分别为a,b,因为∠A∠B,所以ab,由正弦定理得,2RsinA2RsinB,即sinAsinB.【补偿训练】在△ABC中,若sinAsinB,则A与B的大小关系为()A.ABB.ABC.A≥BD.A,B的大小不能确定【解题指南】先由正弦定理说明ab,然后再根据△ABC中大角对大边的原理去判断.【解析】选A.由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB.因为sinAsinB.所以ab,所以AB.3.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C,则下列结论正确的是()A.C≤60°B.C60°C.a2+b2=c2D.a2+b2=2c2【解题指南】利用二倍角公式化简条件等式,利用正弦定理建立三角形的边长的关系式,利用余弦定理的变形公式确定角的取值范围.【解析】选AD.由cos2A+cos2B=2cos2C,得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),即sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理可得a2+b2=2c2.由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2,所以cosC==≥=,所以cosC的最小值为,由于函数y=cosx,x∈(0,π)为减函数,所以0C≤,即C≤60°.4.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2acosB=c,且满足sinAsinB(2-cosC)=sin2+,则△ABC为()A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.根据等式2acosB=c,利用正弦定理化简得2sinAcosB=sinC,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,因为A与B都为△ABC的内角,所以A-B=0,即A=B.方法一:由sinAsinB(2-cosC)=sin2+变形得sin2A[2-cos(π-2A)]=(1-cosC)+=1-cosC=1-cos(π-2A),即sin2A(2+cos2A)=1+cos2A,sin2A(1+2cos2A)=+cos2A,(1-cos2A)(1+2cos2A)=+cos2A,得cos4A=,cos2A=,得cosA=±,由于0°A90°,所以A=B=45°,C=90°,则△ABC为等腰直角三角形.方法二:由sinAsinB(2-cosC)=sin2+变形得sinAsinB(2-cosC)=(1-cosC)+=1-cosC,-[cos(A+B)-cos(A-B)](2-cosC)=1-cosC,所以-(-cosC-1)(2-cosC)=1-cosC,即(cosC+1)(2-cosC)=2-cosC,因为2-cosC≠0,所以cosC+1=1.所以cosC=0,所以C=90°,则△ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=bsinA,则sinB=________.【解析】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinA=sinB·sinA,故sinB=.答案:6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=________.【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90°,则cosB=________.【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.因为A-C=90°,所以2sinB=sin(90°+C)+sinC,所以2sinB=cosC+sinC.所以2sinB=sin(C+45°).①因为A+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-,代入①式中,2sinB=sin.所以2sinB=cos.所以4sincos=cos.所以sin=.所以cosB=1-2sin2=1-=.答案:8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________.【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.【解析】设A=θ,则B=2θ.由正弦定理得=,即=,所以=1⇒=2.由锐角△ABC得0°θ45°,又0°180°-3θ90°⇒30°θ60°,故30°θ45°⇒cosθ,所以AC=2cosθ∈(,).答案:2(,)三、解答题(共38分)9.(12分)已知在△ABC中,D为BC的中点,cos∠BAD=,cos∠CAD=,(1)求∠BAC的值;(2)求的值.【解析】(1)因为cos∠BAD=,cos∠CAD=,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=×-×=,因为0∠BACπ,所以∠BAC=.(2)在△ABC中,=,在△ABD中,=,=,又因为BC=2BD,所以=.10.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2,A=30°,试求ac的值.【解析】由正弦定理=得sinB==.由条件b=6,a=2,ba知BA.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,c=4,所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,则有a=c=2.所以ac=2×2=12.11.(14分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为acsin2B.(1)求sinB的值;(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求△ABD的周长.【解析】(1)由题意