新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测82立体图形的直观图Word版含解析

课时素养检测二十一立体图形的直观图(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共20分)1.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说,下列描述不正确的是()A.三角形的直观图仍然是一个三角形B.90°的角的直观图会变为45°的角C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半D.原来平行的线段仍然平行【解析】选B.根据斜二测画法,三角形的直观图仍然是一个三角形,故A正确;90°的角的直观图不一定为45°的角,例如也可以为135°,所以B不正确;由斜二测画法可知,与y轴平行的线段长度变为原来的一半,故C正确;根据斜二测画法的作法可得原来平行的线段仍然平行,故D正确.2.用斜二测画法画如图所示直角三角形的水平放置的直观图,正确的是()【解析】选B.以直角顶点为坐标原点建立坐标系,由斜二测画法规则知,在直观图中此角变为钝角,排除C和D,又原三角形的高在y轴上,在直观图中在y′轴上,长度减半,故B正确.3.水平放置的△ABC的斜二测画法直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为()A.2B.2.5C.3D.4【解析】选B.由直观图可知△ABC是直角三角形,且∠C=90°,BC=4,AC=3,故AB=5.因此AB边的中线长度为AB==2.5.4.给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的个数是()①水平放置的角的直观图一定是角;②相等的角在直观图中仍相等;③相等的线段在直观图中仍然相等;④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由斜二测画法规则可知,直观图保持线段的平行性,所以④对,①对;而线段的长度,角的大小在直观图中都会发生改变,所以②③错.5.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A.4cm,1cm,2cm,1.6cmB.4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC.4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm【解析】选C.由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.二、填空题(每小题4分,共8分)6.如图,在直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2cm,OC=4cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).答案:矩形87.如图,△O′A′B′是△OAB的水平放置的直观图,其中O′A′=O′B′=2,则△OAB的面积是__________.【解析】由题意得在Rt△OAB中,OA=2,OB=4,所以△OAB的面积是S=×2×4=4.答案:4三、解答题(共22分)8.(10分)如图,四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形面积.【解析】由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,可得该四边形的原图形,如图所示:这是一个底边长为2,高为的平行四边形,故原图的面积为2.【补偿训练】如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.【解析】(1)画直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA=O′A′,即CA=C′A′;(2)过B′作B′D′∥y′轴,交x′轴于D′,在OA上取OD=O′D′,过D作DB∥y轴,且使DB=2D′B′;(3)连接AB,BC,得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形,如图所示.9.(12分)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,三角形AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.【解析】由题可知,在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1,由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变,在直观图中,O′D′=OD,梯形的高为,于是梯形A′B′C′D的面积为×(1+2)×=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形【解析】选C.将直观图还原得到平行四边形OABC,如图所示.由题意知O′D′=O′C′=2cm,OD=2O′D′=4cm,C′D′=O′C′=2cm,所以CD=2cm,OC==6cm,又OA=O′A′=6cm=OC,所以原图形为菱形.2.若用斜二测画法把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则该圆柱的高应画成()A.平行于z′轴且长度为10cmB.平行于z′轴且长度为5cmC.与z′轴成45°且长度为10cmD.与z′轴成45°且长度为5cm【解析】选A.平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变.3.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选D.正三角形A′B′C′还原回原三角形如图,过C′作C′D垂直于x′轴于D,因为△A′B′C′是边长为a的正三角形,所以C′D=,过C′作C′E平行于x′轴交y′轴于E,则A′E=C′D=a,所以,C′对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xOy下的纵坐标为2a,即原三角形ABC底边AB上的高为2a,所以,原三角形ABC面积S=×a×2a=a2.4.如图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的()【解析】选C.按斜二测画法规则,平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y轴或在y轴上的线段的长度在新坐标系中变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°,将图形还原成原图形知C图符合要求.5.已知正三角形ABC的边长为a,那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选D.根据题意,建立如图①所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出其直观图,如图②中△A′B′C′所示.易知,A′B′=AB=a,O′C′=OC=a.过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′,则C′D′=O′C′=a.所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=a×a=a2.6.如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图,若O′B′=,则这个平面图形的面积是()A.1B.C.2D.4【解析】选C.由直观图可知,原平面图形是Rt△OAB,其中OA⊥OB,则OB=O′B′=,OA=2O′A′=4,所以S△OAB=OB·OA=2.【点评】平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系:设一个平面多边形的面积为S原,它的斜二测画法直观图的面积为S直,则有S直=S原(或S原=2S直).二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图(斜二测画法),其中A′与O′重合,C′在y′轴上,且B′C′∥x′轴,A′C′=2,B′C′=3,则△ABC的最长边长为______.【解析】由斜二测画法可知△ABC是直角三角形,且AC=2A′C′=4,BC=B′C′=3,则最长边(斜边)AB=5.答案:58.如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′,由图判断△ABO中,AB,BO,BD,OD由小到大的顺序是__________.【解析】由题图可知,还原直角坐标的图形△ABO中,OD和横轴重合长度不变故OD=2,BD和纵轴平行,长度变为原来的2倍,故BD=4,这样就画出原图形了.由勾股得到AB=,BO=2.故ODBDABBO.答案:ODBDABBO【补偿训练】如上图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O′A′B′C′,在直观图中梯形的高为______.【解析】因为OA=6,CB=2,所以OD=2.又因为∠COD=45°,所以CD=2.梯形的直观图如图,则C′D′=1.所以梯形的高C′E′=.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O′B′=4,且△AOB的面积为16,A′B′∥y′轴,过A′作A′C′⊥x′轴,求A′C′的长度.【解析】因为A′B′∥y′轴,所以△ABO中,AB⊥OB,又S△ABO=16,OB=O′B′=4,所以AB·OB=16,所以AB=8,所以A′B′=4,在Rt△A′B′C′中,A′C′=A′B′·sin45°=4×=2.10.(12分)用斜二测画法画出图中水平放置的图形的直观图.【解析】步骤是:①在图(1)中,取O点为原点,以水平方向的直线为x轴,竖直方向的直线为y轴;过A,B点分别作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N.②取任一点O′,画出相应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(2);在x′轴上取O′M′=OM,O′N′=ON,过M′,N′分别作M′A′∥O′y′、N′B′∥O′y′,且M′A′=MA,N′B′=NB.③连接O′,A′,B′并擦去辅助线,如图(3),则图形O′A′B′即是水平放置图形OAB的直观图.11.(14分)如图所示,在平面直角坐标系中,各点坐标为O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5).试画出四边形ABCD的直观图.【解析】画法:(1)先画x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°(如图1).(2)在原图中作AE⊥x轴,垂足为E(1,0).(3)在x′轴上截取O′E′=OE,作A′E′∥y′轴,截取E′A′=1.5.(4)同理确定点B′,C′,D′,其中B′G′=0.5,C′H′=3,D′F′=2.5.(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2).