新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测832圆柱圆锥圆台球的表面积和体积Word版

课时素养检测二十三圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积可能为()A.πB.(1+)πC.2πD.(2+π)【解析】选AB.若绕一条直角边所在直线旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=,这时表面积为·2π·1·l+π·12=(1+)π;若绕斜边所在直线旋转一周时旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起,且由题意底面半径为,一个圆锥的母线长为1,所以表面积S=2··2π··1=π,综上所述该几何体的表面积为π或(1+)π.2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为()A.1B.C.D.【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,所以r=2R,V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=3∶4.3.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是()A.πB.2C.πD.π【解析】选D.S1=π,S2=4π,所以r=1,R=2,S侧=6π=π(r+R)l,所以l=2,所以h=.所以V=π(1+4+2)×=π.4.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为()A.B.C.2D.【解析】选A.设大球的半径为r,则π×13×2=πr3,所以r=.5.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为()A.5πB.6πC.20πD.10π【解析】选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.二、填空题(每小题4分,共12分)6.将一个半径为8、圆心角为的扇形薄铁片,焊接成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于________.【解析】将一个半径为8、圆心角为的扇形薄铁片,焊接成一个圆锥形容器,则圆锥的底面圆周长为:8×=2π,所以圆锥的底面圆半径r=1,所以圆锥的高h==3.所以这个圆锥形容器的容积为:V=×π×12×h=×π×3=π.答案:π7.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为__________.【解析】作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.答案:8.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为________.【解析】设两球的半径分别为R,r(Rr),解得由题意得半径之差为1.答案:1三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且AB=BC=CA=2,求球的表面积和体积.【解析】设球心为O,截面圆心为O′,连接O′A,设球半径为R,则O′A=××2=,在Rt△O′OA中,OA2=O′A2+O′O2,所以R2=+R2,所以R=,所以S=4πR2=π,V=πR3=π.10.(原创题)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的高;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?【解析】(1)所求的圆柱的底面半径为x,它的轴截面如图,BO=1,PO=3,设圆柱的高为h,由图得=,即h=3-3x(0x1).(2)因为S圆柱侧=2πxh=2πx(3-3x)=6π(x-x2),当x=时,圆柱的侧面积取得最大值为π.所以当圆柱的底面半径为时,它的侧面积最大为π.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3【解析】选A.过球心与正方体中点的截面如图,设球心为点O,球半径为Rcm,正方体上底面中心为点A,上底面一边的中点为点B,在Rt△OAB中,OA=(R-2)cm,AB=4cm,OB=Rcm,由R2=(R-2)2+42,得R=5,所以V球=πR3=π(cm3).2.已知三棱锥S-ABC,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则三棱锥的外接球的表面积为()A.64πB.68πC.72πD.100π【解析】选D.如图所示,直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D,过D作面ABC的垂线,球心O在该垂线上,过O作球的弦SC的垂线,垂足为E,则E为SC中点,球半径R=OS==,因为CD=AB=4,SE=3,所以R=5,所以棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π.3.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得的这个圆台的圆锥的体积是()A.54B.54πC.58D.58π【解析】选A.设上底面半径为r,则由题意求得下底面半径为3r,设圆台高为h1,则52=πh1(r2+9r2+3r·r),所以πr2h1=12.令原圆锥的高为h,由相似知识得=,所以h=h1,所以V原圆锥=π(3r)2×h=3πr2×h1=×12=54.4.(多选题)下列说法正确的为()A.设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形B.若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的8倍C.若将气球的半径扩大2倍,则其体积扩大27倍D.球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径【解析】选ABD.A正确.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面内的任一直线;B正确.体积增大到原来的8倍;C错误.若将气球的半径扩大2倍,则体积就扩大=26倍;D正确.球与圆柱底面和侧面均相切,显然球的直径恰好等于圆柱的高,而球的直径也恰好等于底面圆的直径.二、填空题(每小题4分,共16分)5.若圆锥侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________.【解析】设圆锥的底面半径为r,则有l=2πr,所以l=3r,所以===.答案:4∶36.如图,在边长为a的正方形中,剪下一个扇形和一个圆,分别作为一个圆锥的侧面和底,则此圆锥的体积为________.【解析】设圆的半径为r,扇形的半径为x,则=·2πx=πx.又因为=2πr,所以πx=2πr.所以x=4r,AC=x+r+r.所以(5+)r=a,所以r=()a.又因为圆锥的高h==r,所以圆锥体积V=πr2·h=πa3.答案:πa37.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是________.【解析】设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.答案:48.四边形ABCD中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),将四边形绕y轴旋转一周,所得旋转体的体积为________.【解析】因为C(2,1),D(0,3),所以圆锥的底面半径r=2,高h=2.所以V圆锥=πr2h=π×22×2=π.因为B(1,0),C(2,1),所以圆台的两个底面半径R=2,R′=1,高h′=1.所以V圆台=πh′(R2+R′2+RR′)=π×1×(22+12+2×1)=π,所以V=V圆锥+V圆台=5π.答案:5π三、解答题(共38分)9.(12分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.【解析】因为V半球=×πR3=×π×43=π(cm3),V圆锥=πr2h=π×42×10=π(cm3),因为V半球V圆锥,所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子.10.(12分)(改编题)如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,求圆台的侧面积.【解析】设圆台的上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.由母线长为10可知10==5r,所以r=2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2+8)×10=100π.11.(14分)有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.【解题指南】本题是求三个球的表面积之比,解题的关键是得出半径之比,可在各几何体内作出截面,找到球心,易求半径.【解析】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心作截面,如图①,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4π=πa2.(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图②,2r2=a,r2=a,所以S2=4π=2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图③,所以有2r3=a,r3=a,所以S3=4π=3πa2.综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.