第26课第3章章末综合2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修第一册解析版

第二单元等式与不等式第26课第3章章末综合一、基础巩固1.函数f(x)＝x－1x－2的定义域为()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.[1，2)D.[1，2)∪(2，＋∞)【答案】D【解析】根据题意有x－1≥0，x－2≠0，解得x≥1且x≠2.2.已知fx2－1＝2x＋3，则f(6)的值为()A.15B.7C.31D.17【答案】C【解析】令x2－1＝t，则x＝2t＋2.将x＝2t＋2代入fx2－1＝2x＋3，得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.3.若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为()A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】因为函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，所以－1－a＋2a＝0，所以a＝1，所以函数的定义域为[－2，2].因为函数图像的对称轴为x＝0，所以b＝0，所以f(x)＝x2＋1，所以x＝±2时函数取得最大值，最大值为5.4.已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内()A.至少有一个实根B.至多有一个实根C.没有实根D.有唯一实根【答案】D【解析】f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，且f(a)·f(b)＜0，所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.5.已知函数f(x)＝1－x2，x≤1，x2－x－3，x1，则f1f(3)的值为()A.1516B.－2716C.89D.18【答案】C【解析】由题意得f(3)＝32－3－3＝3，那么1f(3)＝13，所以f1f(3)＝f13＝1－132＝89.6.函数f(x)＝xx2＋a的图像不可能是()【答案】D【解析】函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论.若a＝0，则f(x)＝xx2＝1x，选项C符合；若a＞0，则函数定义域为R，选项B符合；若a＜0，则x≠±－a，选项A符合，所以不可能是选项D.7.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝.【答案】6【解析】根据已知条件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，则3＝－f(2)＋9，解得f(2)＝6.8.设函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋ax为奇函数，则实数a＝.【答案】－1【解析】f(x)＝x2＋(a＋1)x＋ax＝x＋ax＋a＋1，因此有f(－x)＝－x＋a－x＋a＋1，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即2a＋2＝0，所以a＝－1.9.若关于x的不等式ax＞b的解集为－∞，15，则关于x的不等式ax2＋bx－45a＞0的解集为.【答案】－1，45【解析】由已知ax＞b的解集为－∞，15，可知a＜0，且ba＝15，将不等式ax2＋bx－45a＞0两边同除以a，得x2＋bax－45＜0，即x2＋15x－45＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜45，故所求解集为－1，45.10.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x－ax，且f12＝3.(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明.【答案】（1）a＝－1；（2）单调递增【解析】(1)因为f(x)＝2x－ax，且f12＝3，所以f12＝1－2a＝3，解得a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝2x＋1x，f(x)在(1，＋∞)上单调递增.证明如下：设x1＞x2＞1，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1－2x2－1x2＝(x1－x2)2x1x2－1x1x2.因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，2x1x2－1＞0，x1x2＞0，所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.二、拓展提升11.若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以g(x)＜g(4)＝－2，所以a＜－2.12.在R上定义运算：abcd＝ad－bc.若不等式x－1a－2a＋1x≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为.【答案】32【解析】原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立.x2－x－1＝x－122－54≥－54，所以－54≥a2－a－2，解得－12≤a≤32.13.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，试求函数y＝f(x)x(x＞0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围.【答案】（1）－2；（2）34，＋∞【解析】(1)依题意得y＝f(x)x＝x2－4x＋1x＝x＋1x－4.因为x＞0，所以根据均值不等式可得x＋1x≥2.当且仅当x＝1x时，即x＝1时，等号成立.所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝f(x)x的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1.所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]恒成立”.不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可.所以g(0)≤0，g(2)≤0，即0－0－1≤0，4－4a－1≤0，解得a≥34.则a的取值范围为34，＋∞.14.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1).(1)若a＞0，求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）－∞，3a；（2）(－∞，0)∪(1，3]【解析】(1)当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤3a，即函数f(x)的定义域是－∞，3a.(2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在(0，1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1＜a≤3.当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0，1]上是减函数，则需－a＞0，且3－a×1≥0，此时a＜0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，3].15.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1图像的上方，试确定实数m的取值范围.【答案】（1）f(x)＝2x2－4x＋3；（2）0a12；（3）m－1【解析】(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1(a0)，将点(0，3)的坐标代入得a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，所以2a1a＋1，所以0a12.(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，由题意得2x2－6x－2m＋20对于任意x∈[－1，1]恒成立，所以x2－3x＋1m对于任意x∈[－1，1]恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]，则gmin＝g(1)＝－1，所以m－1.