2020届高考数学理一轮复习精品特训专题八立体几何7空间向量的应用

立体几何（7）空间向量的应用1、如图,在直三棱柱111ABCABC中，190,2,1ACBAAACBC,则异面直线1AB与AC所成角的余弦值是()A.65B.64C.63D.662、已知空间四面体DABC的每条边都等于1,点,EF分别是,ABAD的中点,则FEDC等于()A.14B.14C.34D.343、我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点3,4A,且法向量为1,2n的直线(点法式)方程为13240xy,化简得2110xy类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点1,2,3A,且法向量为1,2,1m的平面的方程为()A.220xyzB.220xyzC.220xyzD.220xyz4、已知2,2,1,4,5,3ABAC,则平面ABC的单位法向量为()A.122,,333B.122,,233C.112,,233D.122,,3335、已知正方体1111ABCDABCD中,,EF分别为11,BBCC的中点,那么直线AE与1DF所成角的余弦值为()A.45B.35C.34D.356、在正三棱锥ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,且0AECFEBFD为异面直线EF与AC所成的角,为异面直线EF与BD所成的角,则的值是()A.6B.4C.3D.27、如图1,四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,M是侧棱PD上靠近点P的四等分点,4PD.该四棱锥的俯视图如图2所示,则PMA的大小是()A.23B.34C.56D.7128、若平面的一个法向量为1(1,0,1)n,平面的一个法向量是2(3,1,3)n,则平面与所成的角等于()A.30B.45C.60D.909、已知球O的半径为2,四点,,,SABC均在球O的表面上,且4,3,6SCABSCASCB,则点B到平SAC面的距离为()A.32B.32C.33D.110、两平行平面,分别经过坐标原点 O和点2,1,1A且两平面的一个法向量(1,0,1)n,则两平面间的距离是()A.32B.22C.3D.3211、已知直线l的方向向量为(2,,1)m,平面的法向量为11,,22,且//l,则m__________12、已知长方体1111ABCDABCD内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形,E为1AA的中点,OA平面BDE,则球O的表面积为__________.13、如图,在四棱锥SABCD中,SA平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,//,90ADBCBAD,且4,3,,ABSAEF分别为线段,BCSB上的一点(端点除外),满SFCEBFBE,则当实数的值为__________时,AFE为直角.14、已知平面的一个法向量为(2,1,3),(3,2,1),(4,4,1)nMN,其中M,N,则点N到平面的距离为__________.15、如图,在四棱锥PABCD中,//ABCD,且90BAPCDP.1.证明:平面PAB平面PAD;2.若PAPDABDC,90APD,求二面角APBC的余弦值.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：C解析：类比得:1122130xyz即220xyz故选C.4答案及解析：答案：D解析：设平面ABC的一个法向量为,,1nxy,则nAB且nAC,即0nAB,且0nAC，即22104530xyxy解得121xy，∴1,1,12n，故平面ABC的单位法向量0122,,333nnn.故选D.5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：D解析：当0时,,EAFC,从而EFAC,此时是0,是AC与BD所成的角,因此ACBD,排除A,B,C.故选D.7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：B解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：-8解析：12答案及解析：答案：16解析：∵长方体内接于球,底面ABCD是边长为2的正方形,设,E为的中点,以A为坐标原点,分别以AB、AD、为x、y、z轴建立空间直角坐标系,∴,,,,,,∴,,,若平面BDE,∴,即,即,解得,∴球的半径R满足:,∴球的表面积.考点:球的体积和表面积.13答案及解析：答案：916解析：因为SA平面,90ABCDBAD,故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为4,3ABSA,所以0,4,0,0,0,3BS.设BCm,则,4,0Cm,因为SFCEBFBE,所以SFAB,所以111AFASAB,所以430,,11F.同理,,4,01mE,所以43,,111mFE.要使90AFE,则sinsinDBCDDCBB,又430,,11FA所以2443001111m,所以169,所以916.14答案及解析：答案：147解析：15答案及解析：答案：1.∵90BAPCDP,∴ABAP,CDPD,∵//ABCD,∴ABPD,∵PDAPP,且AP,PD平面PAD,∴AB平面PAD,∵PB平面PAB,∴平面PAB平面PAD.2.取AD中点为O,∵PAPDCD,∴PAD为等腰三角形,∴POAD,∴POAO,AOAB.取BC中点H,连接OH,则//OHAx,∴OAOH,∵AB平面PAD,∴OH平面PAD,∴OHOP,∴OA,OH,OP两两互相垂直.以O为坐标原点,以OA为x轴,OH为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,如图:∴0,0,0O,设ABa,∴2,0,02Aa,2,,02Baa,2,,02Caa,20,0,2Pa∴22,0,22APa,22,,22PBaaa,2,,0BCaa,设平面PAB的法向量为1111(,,)nxyz,平面PBC的法向量为2222(,,)nxyz,则11111220,22{220,22axazaxayaz2222220,{2220,axayazax∴111,{0,xzy2220,{2,xyz∴1(1,0,1)n,2(0,1,2)n,∴121223cos323ABPCnnnn.显然二面角ABPC为钝角,所以它的余弦值为33.解析：