2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题一集合与常用逻辑用语理解析

集合与常用逻辑用语都是高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度较为简单．集合的考查主要为集合的运算和集合间的基本关系；常用逻辑用语主要为复合命题的真假判断以及充分必要条件的考查居多．1．数学中常用的数集及其记法：①自然数集：𝐍，②正整数集：𝐍∗或𝐍+，③整数集：𝐙，④有理数集：Q，⑤实数集：𝐑．2．集合间的基本关系（1）𝐴⊆𝐵（𝐴是𝐵的子集）；（2）𝐴=𝐵（𝐴与𝐵相等）⇔𝐴⊆𝐵且𝐵⊆𝐴；（3）𝐴⊂≠𝐵（𝐴是𝐵的真子集）⇔𝐴⊆𝐵且𝐴≠𝐵；（4）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；（5）含有𝑛(𝑛∈𝐍∗)个元素的集合有2𝑛个子集，有(2𝑛−1)个真子集．3．集合的运算性质及重要结论（1）𝐴∪𝐵=𝐴⇔𝐵⊆𝐴，𝐴∩𝐵=𝐴⇔𝐴⊆𝐵；（2）∁𝑈(𝐴∪𝐵)=∁𝑈𝐴∩∁𝑈𝐵，∁𝑈(𝐴∩𝐵)=∁𝑈𝐴∪∁𝑈𝐵；4．四种命题的关系（1）逆命题与否命题互为逆否关系；（2）互为逆否命题的两个命题同真假；当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．（3）当已知一个命题的真假时，只能由此得出它的逆否命题的真假性，不能判断它的逆命题与否命题的真假．5．充分、必要条件（1）𝑝⇒𝑞，则𝑝是𝑞的充分条件；考点清单命题趋势专题1××集合与常用逻辑用语（2）𝑝⇐𝑞，则𝑝是𝑞的必要条件；（3）𝑝⇔𝑞，则𝑝和𝑞互为充要条件．6．简单的逻辑联结词（1）若命题𝑝∨𝑞为真，则命题𝑝或𝑞有一个为真，或两个都为真；（2）若命题𝑝∧𝑞为真，则要求𝑝，𝑞都为真．7．全称命题与特称命题互相否定00xMpxxMpx否定，，8．“或”“且”联词的否定形式“𝑝或𝑞”的否定形式是“非𝑝且非𝑞”，“𝑝且𝑞”的否定形式是“非𝑝或非𝑞”．一、选择题．1．已知集合𝐴={𝑥|3𝑥2−4𝑥−15≤0}，𝐵={𝑥|π−𝑥1}，则（）A．𝐴∩𝐵=[0，3]B．5,3ABC．ABD．𝐴∪𝐵=𝐑【答案】B【解析】由234150xx，得533x，即5,33A，由π1x，得−𝑥0，得𝑥0，即0,B，所以0,3AB，5,3AB，故选B．【点评】本题主要考了集合的运算，属于基础题．2．若全集𝑈={𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，𝑓}，𝑀={𝑎，𝑑}，𝑁={𝑏，𝑐}，则集合{𝑒，𝑓}等于（）A．∁𝑈(𝑀∩𝑁)B．(∁𝑈𝑀)∩𝑁C．(∁𝑈𝑀)∩(∁𝑈𝑁)D．(∁𝑈𝑀)∪(∁𝑈𝑁)【答案】C【解析】因为全集𝑈={𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，𝑓}，𝑀={𝑎，𝑑}，𝑁={𝑏，𝑐}，(∁𝑈𝑀)={𝑏，𝑐，𝑒，𝑓}，(∁𝑈𝑁)={𝑎，𝑑，𝑒，𝑓}，所以，(∁𝑈𝑀)∩(∁𝑈𝑁)={𝑒，𝑓}，故选C．【点评】本题考查了集合交、并、补的运算，是一道基础题，解题时需注意全集的范围．3．设集合𝐴={1，2，5}，𝐵={𝑥|𝑥2−4𝑥+𝑚=0}，若𝐴∩𝐵={1}，则𝐵=（）A．{1，−3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【答案】C【解析】由𝐴∩𝐵={1}，可知12−4+𝑚=0⇒𝑚=3，当𝑚=3时，𝑥2−4𝑥+3=0，解得𝑥=1或𝑥=3，即1,3B，故选C．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．经典训练题精题集训（70分钟）4．已知集合𝐴={𝑎，𝑎2−2，0}，𝐵={2𝑎，𝑎+𝑏}，若𝐴∩𝐵={−1}，则𝑏=（）A．1B．2C．0D．1【答案】B【解析】因为𝐴∩𝐵={−1}，所以−1∈𝐴，−1∈𝐵．又𝑎=−1或𝑎2−2=−1，且𝑎≠𝑎2−2≠0，得1a．因为2𝑎0，所以𝑎+𝑏=−1，即2b，故选B．【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．5．设集合A＝ln6|1xxyx，集合B＝28115|,448xxyyxx．则ABRð（）A．256,4B．636,10C．276,4D．R【答案】D【解析】由6010xx，得𝑥6，所以𝐴=(6，+∞)，2281817211724424xxxxyxxxx，1548x时，15224x，𝑡=2𝑥，15,24t，由勾形函数知1utt在1,12上递减，在51,4上递增，𝑡=1时，𝑢=2；12t时，52u；54t时，4120u，所以52,2u，所以2527,44y，即2527,44B，2527,,44BRð，所以ABRRð，故选D．【点评】本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元的属性进行求解．集合𝐴是求函数的定义域，集合𝐵求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域．6．下列说法错误的是（）A．“𝑎1”是“11a”的充分不必要条件B．“若𝑥2−3𝑥+2=0，则𝑥=1”的逆否命题为“若𝑥≠1，则𝑥2−3𝑥+2≠0”C．命题p：xR，使得𝑥2+𝑥+10，则¬𝑝：xR，均有𝑥2+𝑥+1≥0D．若𝑝∧𝑞为假命题，则p，𝑞均为假命题【答案】D【解析】对于选项A：𝑎1可得11a，但11a可得𝑎1或𝑎0，所以“𝑎1”是“11a”的充分不必要条件，所以选项A说法是正确的；对于选项B：“若𝑥2−3𝑥+2=0，则𝑥=1”的逆否命题为“若𝑥≠1，则𝑥2−3𝑥+2≠0”所以选项B说法是正确的；对于选项C：命题p：∃𝑥∈𝐑，使得𝑥2+𝑥+10，则¬𝑝：∀𝑥∈𝐑，均有𝑥2+𝑥+1≥0，所以选项C说法是正确的；对于选项D：若𝑝∧𝑞为假命题，则p和𝑞至少有一个为假命题，不一定都是假命题，所以选项D说法是错误的，故选D．【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，四种命题的改写，复合命题的真假判断，以及全称命题与存在性命题的关系等知识的综合应用，属于基础题．7．若𝑎，𝑏∈𝐑，则“𝑎𝑏”是“ln𝑎ln𝑏”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【答案】D【解析】若𝑎𝑏≤0，则ln𝑎和ln𝑏无意义，得不出ln𝑎ln𝑏；若ln𝑎ln𝑏，则0ab，可以得出𝑎𝑏，所以“𝑎𝑏”是“ln𝑎ln𝑏”的必要不充分条件，故选D．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断、对数函数的单调性等知识，属于基础题．8．已知命题p：直线𝑦=2𝑥与双曲线22149xy相交，命题𝑞：点1,2在椭圆22143xy的内部，则下列命题为真命题的是（）A．¬𝑞B．𝑝∧𝑞C．𝑝∨𝑞D．𝑝∧(¬𝑞)【答案】C【解析】联立方程组222149yxxy，可得2736x，此时方程无解，所以直线𝑦=2𝑥与双曲线22149xy不相交，命题p为假命题；又因为221(2)143，所以点1,2在椭圆22143xy的内部，命题𝑞为真命题，结合复合命题的真假判定，可得命题¬𝑞，𝑝∧𝑞和𝑝∧(¬𝑞)均为假命题，只有命题𝑝∨𝑞为真命题，故选C．【点评】本题结合直线与双曲线的位置关系，点与椭圆的位置关系的判断，考查判断复合命题的真假，属于基础题．9．下列结论错误的是（）A．若“p且q”与“¬𝑝或𝑞”均为假命题，则p真q假B．命题“存在𝑥∈𝐑，𝑥2−𝑥0”的否定是“对任意的𝑥∈𝐑，𝑥2−𝑥≤0”C．“若𝑎𝑚2𝑏𝑚2，则𝑎𝑏”的逆命题为真D．“𝑥=1”是“𝑥2−3𝑥+2=0”的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，若“p且q”与“¬𝑝或𝑞”均为假命题，则¬𝑝和𝑞均为假命题，所以p真q假，A正确；对于B，命题“𝑥∈𝐑存在𝑥2−𝑥0”的否定是“对任意的𝑥∈𝐑，𝑥2−𝑥≤0”，B正确；对于C，“若𝑎𝑚2𝑏𝑚2，则𝑎𝑏”的逆命题为：“若𝑎𝑏，则𝑎𝑚2𝑏𝑚2”，当𝑚=0时不成立，C不正确；对于D，“𝑥=1”时，“𝑥2−3𝑥+2=0”成立，充分性成立，“𝑥2−3𝑥+2=0”成立时，“𝑥=1或𝑥=2”，必要性不成立，所以“𝑥=1”是“𝑥2−3𝑥+2=0”的充分不必要条件，D正确，故选C．【点评】本题考查了复合命题的真假判断、命题的否定、充分必要条件、四种命题的真假判断，对逻辑内容考查比较全面，属于容易题．10．（多选）下面说法正确的是（）A．“11a”是“𝑎1”的必要不充分条件B．命题“任意xR，则𝑥2+𝑥+10”的否定是“存在xR，则𝑥2+𝑥+1≥0”C．设𝑥，𝑦∈𝐑，则“𝑥2+𝑦2≥4”是“𝑥≥2且𝑦≥2”的充分不必要条件D．设𝑎，𝑏∈𝐑，则“𝑎≠0”是“𝑎𝑏≠0”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】对于A：11a，解得𝑎1或𝑎0，所以11a不能推出𝑎1，而𝑎1能推出11a，所以“11a”是“𝑎1”的必要不充分条件，故A正确；对于B：对任意的否定用存在，故命题“任意xR，则𝑥2+𝑥+10”的否定是“存在xR，则𝑥2+𝑥+1≥0”成立，故B正确；对于C：𝑥2+𝑦2≥4，可取3x，0y，不符合𝑥≥2且𝑦≥2，而𝑥≥2且𝑦≥2可以推出𝑥2+𝑦2≥4，故C错误；对于D：若𝑎≠0，但b=0时，有𝑎𝑏=0，而𝑎𝑏≠0可推出𝑎≠0，所以“𝑎≠0”是“𝑎𝑏≠0”的必要不充分条件，故D正确．【点评】有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是𝑞的必要不充分条件，则𝑞对应集合是p对应集合的真子集；（2）若p是𝑞的充分不必要条件，则p对应集合是𝑞对应集合的真子集；（3）若p是𝑞的充分必要条件，则p对应集合与𝑞对应集合相等；（4）若p是𝑞的既不充分又不必要条件，则p对应集合与𝑞对应集合互不包含．二、填空题．11．设集合𝐴={𝑥|1≤𝑥≤2000，𝑥∈𝐍}，𝐵={𝑥|1993≤𝑥≤2021，𝑥∈𝐍}，则满足𝑆⊆𝐴，且SB的集合S的个数是___________．【答案】22000−21992【解析】集合𝐴={𝑥|1≤𝑥≤2000，𝑥∈𝐍}中元素的个数为2000，其子集个数为22000，集合𝐴∩𝐵={𝑥|1993≤𝑥≤2000，𝑥∈𝐍}，满足𝑆⊆𝐴，且SB的集合S的个数是21992，所以满足𝑆⊆𝐴，且SB的集合S的个数是22000−21992，故答案为22000−21992．【点评】本题考查了集合之间的基本关系，子集的概念，空集的概念等，难度中等偏易．12．设𝐴={𝑛|𝑛=3𝑘−1，𝑘∈𝐍}，𝐵={𝑛|𝑛=6𝑘−1，𝑘∈𝐍}，则𝐴___________𝐵．(填“⊂”､“⊃”､“=”或“≠”)【答案】⊃【解析】由𝐴={𝑛|𝑛=3𝑘−1，𝑘∈𝐍}可知集合𝐴是由3的自然数倍减去1的数构成的，即𝐴={−1，2，5，8，11，⋯}，𝐵={𝑛|𝑛=6𝑘−1，𝑘∈𝐍}={𝑛|𝑛=3×2𝑘−1，𝑘∈𝐍}，可知集合𝐵是由3的非负偶数倍减去1的数构成的，即𝐵={−1，5，11，⋯}