2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题五数列理解析

数列的考查主要为等差等比数列通项、性质、前𝑛项和的考查以及数列综合运用的考查．等差数列、等比数列对通项的考查除了基本运算、基本概念，还注重对函数与方程、等价转化、分类讨论思想的考查；数列性质的考查主要为等差中项、等比中项、通项公式及前𝑛项和的最大、最小值的问题，难度中等偏易；数列综合运用的考查常以解答题的形式出现，结合数列的递推关系式，等差数列、等比数列的定义展开，求解数列的前𝑛项和或数列不等式的证明，难度中等．等差数列的通项公式：𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑等差中项：2𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+1，若𝑚+𝑛=𝑝+𝑞，则𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑝+𝑎𝑞(𝑚，𝑛，𝑝，𝑞∈𝐍∗)等差数列的求和公式：12nnnaaS，112nnndSna等比数列的通项公式：𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1等比中项：𝑎𝑛2=𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛+1，若𝑚+𝑛=𝑝+𝑞，则𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=𝑎𝑝⋅𝑎𝑞(𝑚，𝑛，𝑝，𝑞∈𝐍∗)等比数列的求和公式：1111nnaqSqq前𝑛项和𝑆𝑛与第𝑛项𝑎𝑛的关系：𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质：（1）若项数为2𝑛，则SSnd奇偶，1nnSaSa奇偶；（2）若项数为2𝑛−1，则1nSna偶，nSna奇，nSSa奇偶，1SnSn奇偶；考点清单命题趋势专题5××数列（3）两个等差数列{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛、𝑇𝑛之间的关系为2121nnnnaSbT．一、选择题．1．已知𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑎2+𝑎8=4，则99S（）A．1B．2C．6D．18【答案】B【解析】根据等差数列的性质，可得𝑎2+𝑎8=𝑎1+𝑎9=4，1999182aaS，则929S，故选B．【点评】本题主要考了等差中项，属于基础题．2．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（）A．45B．36C．28D．21【答案】D【解析】由题意分析可得𝑎1=1，𝑎2=1+2=3，𝑎3=1+2+3=6，…，则“三角形数”的通项公式12nnna，6661212a，故选D．【点评】本题以数学文化为背景，考查数列知识及运算能力，难度中等偏易．3．已知等差数列{𝑎𝑛}前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列{𝑎𝑛}的通项公式为（）A．𝑎𝑛=6𝑛+2B．𝑎𝑛=6𝑛−2C．𝑎𝑛=4𝑛+2D．𝑎𝑛=4𝑛−2【答案】B【解析】设公差为𝑑，依题意得10120110910310220192012202dSadSa，解得𝑎1=4，𝑑=6，经典训练题精题集训（70分钟）所以𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑=6𝑛−2，故选B．【点评】本题考了等差数列通项公式的求法，属于基础题．4．数列{𝑎𝑛}是等差数列，𝑆𝑛为其前𝑛项和，且𝑎10，𝑎2020+𝑎20210，𝑎2020⋅𝑎20210，则使𝑆𝑛0成立的最大正整数𝑛是（）A．2020B．2021C．4040D．4041【答案】C【解析】设数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，由𝑎10，𝑎2020+𝑎20210，𝑎2020⋅𝑎20210，可知𝑎20200，𝑎20210，所以𝑑0，数列{𝑎𝑛}为递增数列，14041404120214041404102aaSa，𝑆4040=2020(𝑎1+𝑎4040)=2020(𝑎2020+𝑎2021)0，所以可知𝑛的最大值为4040，故选C．【点评】本题求满足𝑆𝑛0的最大正整数𝑛的值，关键就是求出𝑆𝑛0，𝑆𝑛+10时成立的𝑛的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解．5．设𝑆𝑛是数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若112a，111nnaa，则𝑆2021=（）A．20172B．1009C．20192D．1010【答案】B【解析】在数列{𝑎𝑛}中，112a，111nnaa，则21111aa，32112aa，431112aa，以此类推可知，对任意的𝑛∈𝐍∗，𝑎𝑛+3=𝑎𝑛，即数列{𝑎𝑛}是以3为周期的周期数列，∵2021=3×673+2，因此，202131233167367467412210092SSaaSa，故选B．【点评】根据递推公式证明数列{𝑎𝑛}是周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列{𝑎𝑛}的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数𝑘；（2）证明𝑎𝑛+𝑘=𝑎𝑛(𝑘∈𝐍∗)，则可说明数列{𝑎𝑛}是周期为𝑘的周期数列．6．若等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+𝑎3=4，𝑎5+𝑎7=−4，则等差数列{𝑎𝑛}的公差d（）A．2B．1C．0D．1【答案】D【解析】(𝑎5+𝑎7)−(𝑎1+𝑎3)=(𝑎1+𝑎3+8𝑑)−(𝑎1+𝑎3)=8𝑑=−8，𝑑=−1，故选D．【点评】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．7．2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入𝑎元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（）A．6(1)aPB．7(1)aPC．6(1)1aPPPD．7(1)1aPPP【答案】D【解析】由题意，2016年1月1日，存入的𝑎元，一年后存款及利息为(1)ap，二年后存款及利息为𝑎(1+𝑝)2，⋯⋯，依次类推，由此可得，从2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息为：66571[11)(1)(1)1(1)111appaapapapPPpP，故选D．【点评】本题考了数列的实际运用，属于基础题．8．等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎2=6，𝑎3+𝑎4=12，则{𝑎𝑛}的前8项和为（）A．90B．30(√2+1)C．45(√2+1)D．72【答案】A【解析】∵{𝑎𝑛}是等比数列，∴𝑎1+𝑎2，𝑎3+𝑎4，𝑎5+𝑎6，𝑎7+𝑎8也成等比数列，𝑎1+𝑎2=6，𝑎3+𝑎4=12，∴𝑎5+𝑎6=24，𝑎7+𝑎8=48，∴前8项和为𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6+𝑎7+𝑎8=90，故选A．【点评】本题考了等比数列通项公式的运用，以及前𝑛项和的求法．9．设等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若10512SS，则155SS（）A．12B．13C．23D．34【答案】D【解析】{𝑎𝑛}是等比数列，∴𝑆5，𝑆10−𝑆5，𝑆15−𝑆10也称等比数列，10512SS，设𝑆5=2𝑘，𝑆10=𝑘，则𝑆10−𝑆5=−𝑘，15102kSS，则1532kS，15533224kSSk，故选D．【点评】本题考了等比数列前𝑛项和的基本性质，属于基础题．10．已知等比数列{𝑎𝑛}的公比为q，首项为a，前n项和为𝑆𝑛，（）A．若𝑎0，则𝑎𝑛𝑆𝑛0B．若𝑞0，则𝑎𝑛𝑆𝑛0C．若𝑎0，则𝑎𝑛𝑆𝑛0D．若𝑞0，则𝑎𝑛𝑆𝑛0【答案】B【解析】因为{𝑎𝑛}为等比数列，故𝑎≠0，若𝑞=1，则𝑎𝑛=𝑎，𝑆𝑛=𝑛𝑎，故𝑎𝑛𝑆𝑛=𝑛𝑎20，故C错误，A正确，B正确；若𝑞≠1，则1nnaaq，11nnaqSq，故2111nnnnaqqaSq，若𝑞1，则𝑞𝑛−10，1−𝑞𝑛0，1−𝑞0，故𝑎𝑛𝑆𝑛0，若01q，则𝑞𝑛−10，1−𝑞𝑛0，1−𝑞0，故𝑎𝑛𝑆𝑛0，若𝑞0，则211nnnnaqqaSqq，其中𝑞(1−𝑞)0，取10q，则当𝑛为偶数，则𝑎2𝑞𝑛(1−𝑞𝑛)0，即𝑎𝑛𝑆𝑛0；当𝑛为奇数，则𝑎2𝑞𝑛(1−𝑞𝑛)0，即𝑎𝑛𝑆𝑛0，故A、D错误，故选B．【点评】本题主要考了等比数列前𝑛项和公式以及通项公式，属于中档题．11．（多选）已知数列{𝑎𝑛}的前n项和是𝑆𝑛，则下列说法正确的有（）A．若2nSn，则{𝑎𝑛}是等差数列B．若𝑆𝑛=2𝑎𝑛−1，则{𝑎𝑛}是等比数列C．若{𝑎𝑛}是等差数列，则𝑆𝑛，𝑆2n−𝑆𝑛，𝑆3𝑛−𝑆2𝑛，成等差数列D．若{𝑎𝑛}是等比数列，则𝑆𝑛，𝑆2n−𝑆𝑛，𝑆3𝑛−𝑆2𝑛成等比数列【答案】ABC【解析】若2nSn，当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=2，𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑛−2(𝑛−1)=2𝑛，𝑎𝑛=2𝑛(𝑛∈*N)，∴𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=2，{𝑎𝑛}是等差数列，故A正确；若𝑆𝑛=2𝑎𝑛−1，当𝑛=1时，𝑆1=2𝑎1−1=𝑎1，𝑎1=1，𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=(2𝑎𝑛−1)−(2𝑎𝑛−1−1)，12nnaa，{𝑎𝑛}是等比数列，B正确；设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，首项是1a，12nnSaaa，𝑆2𝑛−𝑆𝑛=𝑎𝑛+1+𝑎𝑛+2+⋯+𝑎𝑛=(𝑎1+𝑛𝑑)𝑛+(𝑎2+𝑛𝑑)+⋯+(𝑎𝑛+𝑛𝑑)=𝑆𝑛+𝑛2𝑑，同理，𝑆3𝑛−𝑆2𝑛=(𝑆2𝑛−𝑆𝑛)+𝑛2𝑑，因此2(𝑆2𝑛−𝑆𝑛)=𝑆𝑛+(𝑆3𝑛−𝑆2𝑛)，则𝑆𝑛，𝑆2n−𝑆𝑛，𝑆3𝑛−𝑆2𝑛，成等差数列，C正确；若等比数列{𝑎𝑛}的公比1q，12a，则20S，420SS，640SS不可能成等比数列，D错误，故选ABC．【点评】本题考了等比数列前𝑛项和的性质，以及前𝑛项和与通项的关系．12．（多选）设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，其前𝑞项和为𝑆𝑛，前𝑛项积为𝑇𝑛，且满足11a，𝑎2020⋅𝑎20211，(𝑎2020−1)⋅(𝑎2021−1)0，则下列选项正确的是（）A．01qB．202020211SSC．𝑇2020是数列{𝑇𝑛}中的最大项D．20211T【答案】ACD【解析】由(𝑎2020−1)⋅(𝑎2021−1)0，可得𝑎2020−1与𝑎2021−1异号，2020202111aa或2020202111aa，又11a，且𝑎2020⋅𝑎20211，可得𝑎2020与𝑎2021同号，即𝑞0，且一个大于1，一个小于1，若𝑞1，则𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−11，不符合题意；若01q，则11a，𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1为递减数列，满足0𝑎20211𝑎2020，故A正确；对于B选项，由于01q，数列{𝑎𝑛}为正项递减数列，0𝑎20211𝑎2020，所以，𝑆2021−𝑆2020=𝑎20211，故B选