2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题四平面向量理解析

平面向量主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度一般偏简单，有时也会与三角函数、圆锥曲线结合考查，难度中等．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)一般用有向线段来表示向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量𝒂的单位向量为aa平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律考点清单命题趋势专题4××平面向量加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：𝒂+𝒃=𝒃+𝒂；（2）结合律：(𝒂+𝒃)+𝒄=𝒂+(𝒃+𝒄)减法若𝒃+𝒙=𝒂，则向量𝒙叫做𝒂与𝒃的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法三角形法则𝒂−𝒃=𝒂+(−𝒃)数乘实数𝜆与向量𝒂相乘，叫做向量的数乘（1）|𝜆𝒂|=|𝜆||𝒂|；（2）当𝜆0时，𝜆𝒂的方向与𝒂的方向相同；当𝜆0时，𝜆𝒂的方向与𝒂的方向相反；当𝜆=0时，𝜆𝒂=0𝜆(𝜇𝒂)=(𝜆𝜇)𝒂；(𝜆+𝜇)𝒂=𝜆𝒂+𝜇𝒂；𝜆(𝒂+𝒃)=𝜆𝒂+𝜆𝒃3．共线向量定理向量0aa与𝒃共线，当且仅当有唯一一个实数𝜆，使得ba．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e，2e是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量𝒂，有且只有一对实数𝜆1，𝜆2，使1122aee．其中，不共线的非零向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11,xya，22,xyb，则1212,xxyyab，1212,xxyyab，11,xya，2211xya．3．平面向量共线的坐标表示设11,xya，22,xyb，其中𝒃≠𝟎．12210xyxy∥ab．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量𝒂和𝒃，它们的夹角为𝜃，则数量|𝒂||𝒃|cos𝜃叫做向量𝒂和𝒃的数量积，记作𝒂⋅𝒃=|𝒂||𝒃|cos𝜃．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：|𝒂|cos𝒂，𝒃叫做向量𝒂在𝒃方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11,xya，22,xyb，则（1）𝒂⋅𝒃=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2（2）𝒂⊥𝒃⇔𝒂⋅𝒃=0⇔𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=0（3）121222221122cos,xxyyxyxyab四、平面向量的相关结论1．“三点”共线的充要条件：𝑂为平面上一点，则𝐴，𝐵，𝑃三点共线的充要条件是𝑂𝑃→=𝜆1𝑂𝐴→+𝜆2𝑂𝐵→(其中𝜆1+𝜆2=1）．2．三角形中线向量公式：若𝑃为𝛥𝑂𝐴𝐵的边𝐴𝐵的中点，则12OPOAOB．一、选择题．1．已知平面向量𝒂，𝒃满足|𝒂|=√2，|𝒃|=1，𝒂⊥(𝒂+2𝒃)，则向量𝒂，𝒃的夹角为（）A．3B．4---------------------C．23D．34【答案】D【解析】∵𝒂⊥(𝒂+2𝒃)，∴𝒂⋅(𝒂+2𝒃)=0，即𝒂2+2𝒂⋅𝒃=0，∴𝒂⋅𝒃=−1，12cos,221ababab．,0,ab，3,4ab，故选D．【点评】本题考查了向量的数量积，向量的夹角，以及向量垂直的条件，属于基础题．2．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝒂，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝒃，则BC（）A．12abB．12ab--------------C．32abD．12ab【答案】A【解析】解法一：如图，取𝐴𝐵的中点𝐸，连结𝐷𝐸，因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为等腰梯形，𝐴𝐵=2𝐶𝐷，所以12DCEBAB，所以四边形𝐵𝐶𝐷𝐸为平行四边形，所以1122BCBAADDCbabab，故选A．经典训练题精题集训（70分钟）解法二：如图，取𝐴𝐵的中点𝐸，连结𝐷𝐸，因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为等腰梯形，𝐴𝐵=2𝐶𝐷，所以DCEB，所以四边形𝐵𝐶𝐷𝐸为平行四边形，所以12BCEDADAEab，故选A．【点评】在几何图形中进行向量运算：（1）构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；（2）树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算．3．若平面向量𝒂与b的夹角为3，|𝒂|=1，|𝒃|=2，则|2𝒂+𝒃|=（）A．3√2B．2√3-------------------C．18D．12【答案】B【解析】|2𝒂+𝒃|2=4(𝒂)2+4𝒂⋅𝒃+(𝒃)2=12，|2𝒂+𝒃|=2√3，故选B．【点评】本题主要考了向量的运算以及向量的模长，属于基础题．4．已知向量(2,1)a，𝒃=(3，−2)，𝒄=(1，𝑚)，若(𝒂−𝒃)⊥𝒄，则||c（）A．1B．√2---------------------C．√3D．2【答案】B【解析】由题设可得𝒂−𝒃=(−1，1)，因为(𝒂−𝒃)⊥𝒄，故−1×1+1×𝑚=0，解得𝑚=1，所以𝒄=(1，1)，故|𝒄|=√2，故选B．【点评】本题考了向量的坐标运算以及向量的垂直的条件，模长的计算，属于基础题．5．若向量13,22BA，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，1)，则△𝐴𝐵𝐶的面积为（）A．12B．32-------------------C．1D．3【答案】A【解析】因为13,22BA，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，1)，所以33322BABC，|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=1，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2，则33cos122BABCBBABC，6B，所以11sin22ABCSBABCB△，故选A．【点评】本题考点为向量夹角的计算，以及三角形面积的计算，属于基础题．6．已知△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐴𝐵=2，设点𝐷，𝐸满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，2133BEBABC，𝐴𝐷与BE交于点𝑃，则BPBC（）A．12B．83---------------------C．1D．2【答案】D【解析】因为2133BEBABC，所以22113333BEBEEABEEC，所以𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐸为𝐴𝐶的一个靠近𝐴的三等分点，又因为𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐷为𝐵𝐶的中点，过𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷交𝐴𝐷于𝐹点，如下图所示：因为13EFAECDAC且𝐵𝐷=𝐶𝐷，所以13EFEPBDBP，所以34BPBE，所以23111142424BPBCBEBCBABCBCBABCBC，所以21122cos602224BPBC，故选D．【点评】解答本题的关键是确定点𝐸，𝐷，𝑃的位置，通过将待求的向量都转化为𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，即可直接根据数量积的计算公式完成求解．7．若向量𝒂，𝒃满足|𝒂|=2，(𝒂+2𝒃)⋅𝒂=6，则𝒃在𝒂方向上的投影为（）A．1B．12---------------------C．12D．1【答案】B【解析】设𝒂，𝒃的夹角为𝜃，则22222cos44cos6aaabbabaab，则1cos2b，即𝒃在𝒂方向上的投影为1cos2b，故选B．【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．8．已知向量𝒂，𝒃为平面内的单位向量，且12ab，向量𝒄与𝒂+𝒃共线，则|𝒂+𝒄|的最小值为（）A．1B．12---------------------C．34D．32【答案】D【解析】因为向量𝒄与𝒂+𝒃共线，所以存在唯一的实数𝑡，使得𝒄=𝑡(𝒂+𝒃)，所以𝒂+𝒄=(𝑡+1)𝒂+𝑡𝒃，所以(𝒂+𝒄)2=(𝑡+1)2𝒂2+2𝑡(𝑡+1)𝒂⋅𝒃+𝑡2𝒃2，又向量𝒂，𝒃为平面内的单位向量，所以|𝒂|=1，1|b|=，又12ab，所以22222133()(1)11()244tttttttac，所以32ac，所以|𝒂+𝒄|的最小值为32，故选D．【点评】本题主要考查共线定理的应用及平面向量数量积，关键是根据共线，利用共线定理将𝒄用向量𝒂，𝒃表示，再通过平方转化为二次函数最值问题．9．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若APABAE，则下列判断正确的是（）A．满足2的点P必为BC的中点----B．满足1的点P有且只有一个C．满足3的点P有且只有一个-------D．32的点P有且只有一个【答案】C【解析】如图建系，取𝐴𝐵=1，∵𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，∴()()1,00,1,APABAEABAD，动点𝑃从点𝐴出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到𝐴点，当𝑃∈𝐴𝐵时，有0≤𝜆−𝜇≤1且𝜇=0，∴0≤𝜆≤1，∴0≤𝜆+𝜇≤1，当𝑃∈𝐵𝐶时，有𝜆−𝜇=1且0≤𝜇≤1，则𝜆=𝜇+1，∴1≤𝜆≤2，∴1≤𝜆+𝜇≤3，当𝑃∈𝐶𝐷时，有0≤𝜆−𝜇≤1且𝜇=1，则𝜇≤𝜆≤𝜇+1，∴1≤𝜆≤2，∴2≤𝜆+𝜇≤3，当𝑃∈𝐴𝐷时，有𝜆−𝜇=0且0≤𝜇≤1，则𝜆=𝜇，∴0≤𝜆≤1，∴0≤𝜆+𝜇≤2，综上，0≤𝜆+𝜇≤3．选项A，取𝜆=𝜇=1，满足𝜆+𝜇=2，此时𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，因此点𝑃不一定是𝐵𝐶的中点，故A错误；选项B，当点𝑃取𝐵点或𝐴𝐷的中点时，均满足𝜆+𝜇=1，此时点𝑃不唯一，故B错误；选项C，当点𝑃取𝐶点时，𝜆−𝜇=1且𝜇=1，解得𝜆=2，𝜆+𝜇为3，故C正确；选项D，当点𝑃取𝐵𝐶的中点或𝐷𝐸的中点时，均满足32，此时点𝑃不唯一，故D错误，故选C．【点评】求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论𝑃的位置，根据APABAE，确定𝜆+𝜇的范围，即可求解．（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）10．在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀是𝐴𝐵的中点，23ANAC，线段𝐶𝑀与𝐵𝑁交于点𝑂，动点𝑃在△𝐵𝑂𝐶内部活动（不含边界），且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗，其中𝜆、𝜇∈𝐑，则𝜆+𝜇的取值范围是（）A．311,48B．33,42--------------C．111,8D．31,2【答案】D【解析】如下图所示，连接𝐵𝑃并延长交𝐴𝐶于点𝐺，设𝑁𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗，则102m，0𝑛1，𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑚+1)𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗