四川省泸州市泸县第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

2019年春四川省泸县一中高二年级期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.）1.已知随机变量满足2E，则32E()A．2B．4C．6D．72.不等式213xx的解集为()A．,2B．,0C．,2D．,03.设随机变量服从正态分布4,3N，若4264aPaP，则实数a的值为A．5B．3C．34D．374．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A．异面B．相交C．平行D．平行或重合5．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A．5，10，15，20，25，30B．3，13，23，33，43，53C．1，2，3，4，5，6D．2，4，8，16，32，486．取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于m2的概率是A.15B.13C.14D．不确定7．已知偶函数bxxfalog)(在)0,(上单调递增，则)1(af与)2(bf的大小关系是A．f(a＋1)≥f(b＋2)B．f(a＋1)＜f(b＋2)C．f(a＋1)≤f(b＋2)D．f(a＋1)＞f(b＋2)8．若曲线C的参数方程为23cos,13sinxy(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为A．1B．2C．3D．49.抛物线xy42的焦点为F,点),(yxP为该抛物线上的动点,又已知点A(-1,0),则PFPA的最大值是A．１B．2C．22D．310.若1x是函数xeaxxf)3()(2的极值点，则)(xf的极大值为（）A.36eB.32eC.35eD.12e11.函数223ln2axxxx对),1[eex恒成立，则a的取值范围为（）A.),2321[eeB.),12321[eeC.),25[D.),12321(ee12.杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质P.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f(7）具有性质P.若存在，使具有性质P，则n的最大值为A.22B.23C.24D.25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的最小值为，则满足约束条件，若yxzyyxyxyx2300102214.安排5名大学毕业生到3个单位工作,每个大学生都要安排一个单位,每个单位至少安排一名大学毕业生,则不同的安排方式共有_____________种．（用数字填写答案）15.nxx)2(2的展开式的二次项系数的和为512，则它展开式中的常数项为____________16.已知函数2)(axxexfx，),0(x，当12xx时，不等式0)()(1221xxfxxf恒成立，则实数a的取值范围为______________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx224223（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为sin6．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点3,4P，直线l与圆C相交于,AB两点，求11PAPB的值．18.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，如果学生平均每周手机上网的时长超过5小时，则称为“过度用网”某校为了解A，B两班学生手机上网的情况，以便管理，分别从这两个班中随机抽取6名同学作为样本进行调查，由样本数据统计得到A，B两班学生“过度用网”的概率分别为21,32．从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；从A班、B班的样本中随机抽取4名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）已知梯形BFEC如图（1）所示，其中5EC，4BF，四边形ABCD是边长为2的正方形，现沿AD进行折叠，使得平面EDAF平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体．（Ⅰ）求证：平面AEC平面BDE；（Ⅱ）已知点H在线段BD上，且AH∥平面BEF，求FH与平面BFE所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）已知函数2lnfxxaxxaR．（Ⅰ）当3a时，求函数fx在1,22上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数fx既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过定点．22.（本小题满分12分）已知函数ln2kxfxxx．（Ⅰ）当2k时，求函数fx图象在点1,(1)f处的切线方程；（Ⅱ）设函数()ln1()gxxxfx，若1,2xe使()0gx成立，求实数k的取值范围.2019年春四川省泸县一中高二年级期中考试数学（理）试题答案一．选择题1.D2.C3.C4.C5.B6.A7.D8.B9.B10.A11.C12.B二．填空题13.1814.15015.537616.122ea三．解答题17.（Ⅰ）7:yxl；9)3(:22yxC………………5分（Ⅱ）22………………10分18.解：（1）设从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”为事件C,则12214(C)C=339p…………………………5分（2）在样本数据中A班“过度用网”学生有4个，没有“过度用网”的有2人B班“过度用网”学生有3个，没有“过度用网”的有3人.所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则……………………6分454125(0)495CPXC315741270(1)495CCPXC2257412210(2)495CCPXC1357412175(3)495CCPXC4741235(4)495CPXC………………8分所以X的分布列是P01234X199149914333599799………………………………………………………………………………10分所以114143572317012349999339999993EX………………12分19.（1）证明：由平面EDAF平面ABCD，DEAD，平面EDAF平面ABCDAD，DE平面EDAF，得DE平面ABCD，又AC平面ABCD，∴ACDE，·········2分由ABCD为正方形得ACBD，·········3分又BDDED，BD，DE平面BDE，∴AC平面BDE，·········4分又∵AC平面AEC，∴平面AEC平面BDE．·········5分（2）由ED平面ABCD得ADED，CDED，又ADDC故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立图示空间直角坐标系，则2,0,0A，2,2,0B，0,0,3E，2,0,2F，····6分设DHDB，则2,2,0H，设平面BEF的一个法向量为,,xyzn，由2,2,3BE，2,0,1EF，00BEEFnn，得223020xyzxz，取1x，得1,2,2n，·······9分∵AH∥平面BEF，22,2,0AH，∴2240，13，∴22,,033H，42,,233FH，·········11分设FH与平面BEF所成的角为，则sincos,FHn4214FHFHnn147，∴FH与平面BEF所成角的正弦值为147．·········12分20.（12分）（1）3a时，2211123123xxxxfxxxxx，………2分函数fx在区间1,22仅有极大值点1x，故这个极大值点也是最大值点，故函数在1,22最大值是12f，………………4分又15322ln2ln22ln20244ff，故122ff．故函数在1,22上的最小值为22ln2f．………………6分（2）21212xaxfxxaxx若fx既有极大值又有极小值，则首先必须0fx有两个不同正根12,xx，即2210xax有两个不同正根，故a应满足208022002aaaa．………………12分21.(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，即p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.………………4分(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设At24，t，Bt24，－t.因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以tt24·－tt24＝－12，化简得t2＝32.………………6分所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.………………7分②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组y2＝4x，y＝kx＋b，消去x得ky2－4y＋4b＝0.由根与系数的关系得yAyB＝4bk，………………9分因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以yAxA·yBxB＝－12，即xAxB＋2yAyB＝0.即y2A4·y2B4＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝4bk＝－32，即b＝－8k，………………11分所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综合①②可知，直线AB过定点(8,0)．………………12分22()ln2155(1)2)222121()-211(1)2251(1)26022xfxxxffxxxkfxxy切线22解：(1)k=2+(x0)=,切点坐标为(1,又+=1-2+=-切线方程为y--即2222(2)1ln21,0211ln,221ln,221ln,221kxxxxxxxexkxxxxexxxxxxxexxxxxxxexxx由（1）知g()=ln又使g()ln0在上有解lnk在上有解设h(x)=lnh(x)=2ln2max2ln1=21)ln1,1,211,,121()max(),()()222xxxxxexeehxhehheek（令h(x)01令h(x)0h(x)在上为增函数,在减函数