知识讲解-正弦函数、余弦函数的性质-基础

正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)．【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数)(xfy，定义域为I，当Ix时，都有)()(xfTxf，其中T是一个非零的常数，则)(xfy是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足)()(xfTxf或只差个别的x值不满足)()(xfTxf都不能说T是)(xfy的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期2最小正周期2单调区间k∈Z增区间]2222[kk，减区间]23222[kk，增区间22kk，减区间22kk，最值点k∈Z最大值点(2,1)2k最小值点(2,1)2k最大值点21k，最小值点2,1k对称中心k∈Z0k，(,0)2k对称轴k∈Z2xkxk要点诠释：（1）正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是1,1，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()yx的单调递增区间时，应先将sin()yx变换为sinyx再求解，相当于求sinyx的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点三：正弦型函数sin()yAx和余弦型函数cos()(,0)yAxA的性质．函数sin()yAx与函数cos()yAx可看作是由正弦函数sinyx，余弦函数cosyx复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sinyx，余弦函数cosyx类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：,AA（3）单调区间：求形如sin()yAx与函数cos()(,0)yAxA的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x视为一个“整体”，分别与正弦函数sinyx，余弦函数cosyx的单调递增（减）区间对应解出x，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Zkkxk解出x的范围所得区间即为增区间，由)(23222Zkkxk解出x的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()yAx和余弦型函数cos()(,0)yAxA不一定具备奇偶性．对于函数sin()yAx，当()kkz时为奇函数，当()2kkz时为偶函数；对于函数cos()yAx，当()kkz时为偶函数，当()2kkz时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()yAx，cos()yAx的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()yAx及函数cos()yAx的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为2T．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sinyx比较可知，当()2xkkz时，函数sin()yAx取得最大值（或最小值），因此函数sin()yAx的对称轴由()2xkkz解出，其对称中心的横坐标()xkkz，即对称中心为,0()kkz．同理，cos()yAx的对称轴由()xkkz解出，对称中心的横坐标由()2xkkz解出．要点诠释：若xR，则函数sin()yAx和函数cos()yAx不一定有对称轴和对称中心．【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数22sincos1yxx的定义域；【答案】2222,33xkxkkZ【解析】为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx－1≥0，即2cos2x―cosx―1≤0，解得1cos12x．画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．∴定义域为2222,33xkxkkZ．【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．举一反三：【变式1】求函数lg(2sin1)yx的定义域【解析】依题意得2sinx－1＞0，即1sin2x，∴52266kxk（k∈Z），∴函数的定义域为522,66xkxkkZ．例2．求下列函数的值域：（1）y=3―2sinx（2）2sin23yx，,66x；（3）cos2cos1xyx．【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2【解析】（1）∵－1≤sinx≤1，∴－2≤2sinx≤2，∴－2≤－2sinx≤2，∴1≤3－2sinx≤5，∴函数的值域为[1，5]．（2）∵66x，∴20233x．∴0sin213x．∴02sin223x，∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]．（3）∵cos2cos1111cos1cos11cosxxyxxx，当cosx=－1时，min13122y，∴函数的值域为3,2．【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．举一反三：【变式1】求y=cos2x+4sinx―2的值域．【解析】y=cos2x+4sinx―2=―sin2x+4sinx―1=―(sinx―2)2+3．∵－1≤sinx≤1，∴当sinx=―1时，ymin=―6；当sinx=1时，ymax=2．∴函数的值域为[－6，2]．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3．（2016浙江温州期末）设函数()sin(2)3fxaxb（1）若a＞0，求f（x）的单调递增区间；（2）当[0,]4x时，f（x）的值域为[1，3]，求a，b的值．【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式222232kxk可得答案；（2）由[0,]4x，可得1sin(2)123x，结合题意可得03112aabab或01132aabab，解方程组可得．【答案】（1）5[,]()1212kkkZ；（2）41ab或45ab【解析】（1）∵a＞0，由222232kxk可得51212kxk，∴f（x）的单调递增区间为5[,]()1212kkkZ；（2）当[0,]4x时，52336x，∴1sin(2)123x，∵f（x）的值域为[1，3]，∴03112aabab，或01132aabab，分别可解得41ab或45ab举一反三：【变式1】（2015春河南期中）已知函数1sin()32yx（1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域；（2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间．【答案】（1）T=4π，13[,]22；（2）单调递增区间为：[2,]3和5[,2]3．【解析】（1）由题意函数的周期2412T，∵x∈[0，π]，∴1[,]3263x，∴113sin()[,]3222x，即函数在区间[0，π]上的值域为13[,]22；（2）原函数可化为1sin()23yx，原函数的增区间即为1sin()23yx的减区间，令13222232kxk，解得5114433kxk，k∈Z，令k=0，可得51133x，令k=－1，可得733x，∵x∈[－2π，2π]，∴函数的单调递增区间为：[2,]3和5[,2]3．类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4．判断下列函数的奇偶性：（1）5()2sin(2)2fxx；（2）()2sin1fxx；【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()2cosfxx，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．【解析】（1）函数定义域为R，且5()2sin22sin22cos222fxxxx，显然有()()fxfx恒成立．∴函数5()2sin22fxx为偶函数．（2）由2sinx－1＞0，即1sin2x，得函数定义域为52,266kk（k∈Z），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证()fx是否等于()fx或()fx，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．举一反三：【变式】关于x的函数)(xf=sin(x+)有以下命题：①对任意的，)(xf都是非奇非偶函数；②不存在，使)(xf既是奇函数，又是偶函数；③存在，使)(xf是奇函数；④对任意的，)(xf都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2kπ，k∈Z时，)(xf=sinx是奇函数.当=2(k+1)π，k∈Z时xxfsin)(仍是奇函数.当=2kπ+2，k∈Z时，)(xf=cosx，当=2kπ-2，k∈Z时，)(xf=-cosx，)(xf都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使)(xf恒等于零.所以)(xf不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，2+kπ(k∈Z)；或者④，2+kπ(k∈Z)类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5．（2015春湖南益阳月考）已知函数()2sin(2)4fxx．（1）求函数的最值及相应的x值集合；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合；（2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；（3）根据三角函数的对称性即可求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．【解析】（1）当sin(2)14x，即2242xk，k∈Z，即38xk，k∈Z，此时函数取得最大值为2；故f（x）的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为3{|,}8xxkkZ；（2）由222242kxk，得388kxk，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为3[,]88kk，k∈Z．由3222242kxk，得3788kxk，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为37[,]88kk，k∈Z．（3）由242xk