四川省泸县第四中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题

2019年春四川省泸县第四中学高一期中考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟注意事项:1.答题前请将密封线内的项目填写清楚。2.请将第I卷和第Ⅱ卷的答案统一填写在“答题卷”中，否则作零分处理。一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)1.200)15cos15(sin的值为A.23B.21C.23D.432.函数43)1ln(2xxxy定义域为A.(-4,-l)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bABcCBa21cossincossin且ba,则∠B=A.6B.3C.32D.654.已知{na}为等比数列，1a0，8,26574aaaa,则101aaA.7B.5C.-5D.-75.函数()2sincos3cos2fxxxx的最小正周期为A.2B.C.2D.46．已知向量(1,2)a，(1,0)b，(3,4)c．若为实数，()//abc，则等于A.1B.14C．12D．27.在△OAB中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB，且2BPPA,则A．23x,13yB．13x,23yC．14x,34yD．34x,14y8.已知等差数列}{na的前n项和为nS)(*Nn，若6321S，则71115aaaA.15B.12C.9D.69.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A.36πB.64πC.100πD.144π10.在等差数列na中，160a，170a且1617aa，nS为数列na的前n项和，则使0nS的n的最大值为A.31B.32C.33D.3411.已知ABC的面积为32，AC＝3，3ABC，则ABC的周长等于A．33B．33C．23D．33212．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即2222221()42acbSac，其中a、b、c分别为ABC△内角A、B、C的对边.若2b，3sintan13cosBCB，则ABC△面积S的最大值为A．3B．5C．3D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC中，若AC=2,A=120°，A从C的面积为3，则△ABC外接圆的半径为14.记nS为等比数列{na}的前n项和，若12nnaS,则6S.15.已知sin3cos53cossin，则tan2的值是.16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程17．（本大题满分10分）已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝2sincos10cos4)2sin(22.（Ⅰ）求tan(α＋β)的值；（Ⅱ）求tanβ的值．18.(本大题满分12分)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2cos2aCcb.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若2c，角B的平分线3BD，求a的值.19．(本大题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足2coscosbcCaA（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若10a，82b，C角最小，求ABC的面积S.20.(本大题满分12分)某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21.(本大题满分12分)已知数列na，nb满足111ab，23a，nS为数列na的前n项和，且1-121(2,)nnnSSSnnN，又121nnbb对任意nN都成立（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设1nncb，证明nc为等比数列；（III）求数列nnac的前n项和nT.22．（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，且0na，212nnnaSnN.（Ⅰ）若21lognnnbaS，数列nb的前n项和为nT，求数列1nnT的前n项和nH的取值范围；（Ⅱ）若02n＜＜，2tannnna.试判断数列n是否为等比数列，若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由.2019年春四川省泸县第四中学高一期中考试数学试题答案一．选择题1.C2.C3.A4.D5.C6.A7.C8.A9.D10.B11.A12.D二．填空题13.214.6315.3416.6三．解答题17．解(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tanα＝－13.∵tan(α＋β)＝sin2α＋4cos2α10cos2α－sin2α＝2sinαcosα＋4cos2α10cos2α－2sinαcosα＝sinα＋2cosα5cosα－sinα＝tanα＋25－tanα＝－13＋25－－13＝516.……………6分(2)tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝516＋131－516×13＝3143.……………10分18.解：（1）由2cos2aCcb及正弦定理得2sincossin2sinACCB即2sincossin2sin()2sincos2cossinACCACACAC∴sin2cossinCAC∵(0,)C∴sin0C∴1cos2A又(0,)A∴23A…………………………………………(5分)（2）在ABD中，2ABc，角B平分线3BD，由正弦定理得sinsinABBDADBA∴32sin22sin23ABAADBBD由23A得4ADB，故22()346ABC∴2366ACB∴2ABAC由余弦定理得22212cos22222()62aABACABACA∴6a……………………………………………………………………(12分)19．解：(1)由正弦定理，得2sinsincossincosBCCAA……………2分所以2sinBcosA＝cosCsinA＋sinCcosA，……………4分即2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0.所以cosA＝22.……………5分因为A∈(0，π)，所以A＝4.…………6分(2)由余弦定理及a＝10，b＝82，得102＝(82)2＋c2－2×82×22c.解之得c＝14（舍）或c＝2.……………10分所以S＝12bcsinA＝8.……………12分20.解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，…………………2分整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．…………………4分∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．…………………5分（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，…………………7分等价于x＞25时，有解，…………………9分∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元…………………11分∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．…………………12分21.解:（1）1121nnnSSS，∴2121nnnSSS两式作差得：212nnnaaa∴当2n时，数列na是等差数列，首项2a为3，公差为2，当1n时成立∴322211nannn……………5分（2）证明：因为1121nnbb若1nncb，则12nncc，因为12nncc所以数列nc是以2为公比2为首项的等比数列……………8分（3）因为212nnnacn所以11223311nnnnnTacacacacac1231123252232212nnnn2nT234112+32+52++232212nnnn123112222222212nnnTn16232nnTn………………………………………12分22．解：（1）22211log1log122nnnnbaSn，……………………1分2121222nnnTnnnn，…………2分211111nnTnnnn则11111111(1)()()...()12233411nHnnn，nH的取值范围为1[,1)2…………………………………………………5分（2）数列n是等比数列.由2tannnna可知tan2nnna，代入212nnnaS可得：12tannnnS，2n时，111112tan2tannnnnnnnaSS，代入tan2nnna可得：11tan1122tan2tannnnnnn，211tantantan2tannnnn，122tantantan21tannnnn，而02n，112nn，即n是公比为12的等比数列；………8分在210,2nnnnaaSnN中，令1n可得：112a，111tan214a，111122nnn1tan22nnna.…………………………12分注：其他解法，请酌情记分.