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四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期第一次在线月考试题理注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线310xy的倾斜角是A.30°B.60C.120D.1502.命题“32,10xxxR”的否定是A.32,10xRxxB.32,10xRxxC.32,10xxxRD.32,10xRxx3.“22ambm”是“ab”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知命题“设a、b、Rc,若22acbc,则ab”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有A.0个B.1个C.2个D.3个5.过抛物线28yx的焦点作直线交抛物线于,AB两点,若线段AB的中点的横坐标为4,则ABA.6B.8C.12D.166.若圆22220xyxym的半径为3,则实数mA.32B.-1C.1D.327.已知圆221:2310Cxyxy,圆222:43360Cxyxy,则圆1C和圆2C的位置关系为A.相切B.内含C.外离D.相交8.若方程22148sinxy表示焦点在y轴上的椭圆,则锐角的取值范围是A.,32B.,32ππC.,62D.,629.已知定点3,0B,点A在圆22(1)4xy上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是A.22(1)1xyB.22(2)4xyC.22(1)1xyD.22(2)4xy10.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为3,2,1,则该三棱锥的外接球的表面积A.24B.18C.10D.611.若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上,则3nm的最小值为A.223B.233C.33D.32412.已知双曲线222210,0xyabab的左、右焦点分别为1F、2F,A为左顶点,过点A且斜率为33的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若120MFMF,则该双曲线的离心率是A.2B.213C.133D.53第II卷非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.不等式2620xx的解集用区间表示为______.14.抛物线24yx的焦点坐标是___________.15.双曲线221916xy上一点P到它的一个焦点的距离等于9,那么点P到另一个焦点的距离等于_____.16.已知点(0,2),(0,2),(3,2)ABC,若动点(,)Mxy满足||||||||MAACMBBC,则点M的轨迹方程为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)给定如下两个命题:命题:p“曲线2212xym是焦点在y轴上的椭圆,其中m为常数”;命题:q“曲线2211yxm是焦点在x轴上的双曲线,其中m为常数”.已知命题“pq”为假命题,命题“pq”为真命题,求实数m的取值范围.18.(12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5,0.5,1,...,4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(I)求直方图中a的值;(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;(III)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.19.(12分)已知动点P到定点1,02M的距离比到定直线1x的距离小12,其轨迹为C.(I)求C的方程(II)过点1,0N且不与坐标轴垂直的直线l与C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点0,0Ex,求0x的取值范围.20.(12分)足球是世界普及率最高的运动,我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况,社会调查小组得到如下统计数据:年份x20142015201620172018足球特色学校y(百个)0.300.601.001.401.70(I)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱.(已知:0.75||1r,则认为y与x线性相关性很强;0.3||0.75r,则认为y与x线性相关性一般;||0.25r,则认为y与x线性相关性较):(II)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式和数据:12211niiinniiiixxyyrxxyy,2110,niixx211.3,niiyy133.6056,121ˆ,niiiniixxyybxxˆˆaybx.21.(12分)如图,四棱锥PABCD中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD,12ABBCAD,E是PD的中点.(I)证明:直线CE∥平面PAB;(II)求二面角BPCD的余弦值.22.(12分)已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点,若直线l绕点F任意转动,总有222OAOBAB,求a的取值范围.2020年春四川省泸县第二中学高二第一学月考试理科数学试题参考答案1.C2.C3.A4.B5.C6.B7.B8.C9.C10.D11.D12.B13.3,2214.10,1615.3或1516.221(1)3xyy17.若命题p为真命题,则2m,若命题q为真命题,则1m,由题知p与q一真一假,若p真q假,则21mm,此时无解.若p假q真,则21mm,得12m,综上:实数m的取值范围是1,2.18:(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85,而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以2.5≤x3.由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73,解得x=2.9.所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.19.解:(1)由题意知,动点P到1,02M与定直线12x的距离与到定点的距离相等,由抛物线的定义可知,曲线C的方程为:22yx.(2)由题意知直线存在斜率,设直线l的方程为10xmym,11,Axy,22,Bxy,AB中点33,Sxy,则由212xmyyx得2220ymy,所以1232yyym,23311xmym,则线段AB的中垂线的方程为21ymmxm,则202xm,又20,0mm,即02x,所以0x的取值范围是()2,+?.20.(1)由题得2016,x1y所以12211niiinniiiixxyyrxxyy3.6101.33.60.9980.73.6056,y与x线性相关性很强.(2)51521ˆiiiiixxyybxx(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.7410140.36,ˆˆaybx120160.36724.76,y关于x的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx.当2020x时,ˆ0.36724.76yx2.44,即该地区2020年足球特色学校有244个.21.(1)取PA的中点F,连FEFB、,E是PD的中点,FE//=12AD,又BC//=12ADFE//=BC四边形EFBC是平行四边形CE∥BF又CE平面PAB,BF平面PABCE∥平面PAB(2)在平面PAB内作POAB于O,不妨令122ABBCAD,则4AD由PAB是等边三角形,则2PAPB,O为AB的中点,3PO分别以AB、PO所在的直线为x轴和z轴,以底面内AB的中垂线为y轴建立空间直角坐标系,则(0,0,3)P,(1,0,0)B,(1,2,0)C,(1,4,0)D(1,2,3)PC,(0,2,0)BC,(2,2,0)CD设平面PBC的法向量为111(,,1)nxy,平面PDC的法向量为222(1,,)nyz,则1111111230302000nPCxyxnBCyy则1(3,0,1)n22222221123022003ynPCyznCDyz则2(1,1,3)n121212(3,0,1)(1,1,3)2315cos,52525nnnnnn经检验,二面角BPCD的弦值的大小为15522.(1)设MN,为短轴的两个三等分点,MNF为正三角形,所以32OFMN,32123b,解得3b=.2214ab,所以椭圆方程为22143xy.(2)设1122(,),(,).AxyBxy(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,2222222222,4(1),OAOBaABaaOAOBAB因此,恒有.(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,设直线AB的方程为:22221,1,xyxmyab代入整理得22222222()20,abmybmybab222212122222222,bmbabyyyyabmabm因恒有222OAOBAB,所以AOB恒为钝角,即11221212(,)(,)0OAOBxyxyxxyy恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1xxyymymyyymyymyy2222222222222222222222(1)()210.mbabbmmabbabaabmabmabm又2220abm,所以22222220mabbaba对mR恒成立,即2222222mababab对mR恒成立,当mR时,222mab最小值为0,所以22220abab,2224(1)abab,因为220,0,1ababa,即210aa,解得152a或152a(舍去),即152
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