四川省邻水实验学校2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

四川省邻水实验学校2018-2019学年高二数学下学期期中试题理时间：120分钟满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是()A.13，1，1B．(－1，－3,2)C.－12，32，－1D．(2，－3，－22)2．设z＝11＋i＋i，则|z|＝()A.12B．22C.32D．23．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝sin2xB．y＝ln(1＋x)－xC．y＝x3－xD．xxey4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A．②①③B．①②③C．③①②D．②③①6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手说的话都是假话，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.83B.38C.43D.348．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()9．设a＝，则a、b、c的大小关系()A．abcB．bacC．acbD．bca10．用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=2n2n13时，从n=k到n=k+1时，等式左边应添加的式子是()A.(k-1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)［2(k+1)2+1］11.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为()A.0625B.3125C.5625D.812512．若关于x的不等式ln21xx≤axb成立，则ba的最小值是A.12eB.1eC.1eD.12e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为__________．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．15．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最小值是________．16．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．三、解答题(共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．19.(本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝CC1＝2，∠ACB＝90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.(1)确定点G的位置；(2)求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．22.(本小题满分12分)已知函数0,)2(0,12)(xeaxxxxbxxf在x＝2处的切线的斜率为7e22。(1)求实数a的值。(2)若当x0时，y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围。(3)设g(x)＝lnxf－x＋b若对于任意x1∈0，32，总存在x2∈1e，e(e＝2.71828…)，使得f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围。邻水实验学校高2017级2019年春季学期期中考试理科数学答案命题人：王方俊一、选择题CBDBCACDABDA二、填空题13．答案：6614．答案：－315．答案：416．解析：因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.答案：6三、解答题(共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)解：(1)建立如图所示的直角坐标系D－xyz.∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0,0,23)．(2)∵PA→＝(2,0，－23)，BC→＝(－2，－3,0)，∴cos〈PA→，BC→〉＝－＋－＋－23413＝－1313.∴PA与BC所成的角的余弦值为1313.18．答案；解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.19.(本小题满分12分)解：(1)以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F(1,0,0)，E(1,1,0)，A(0,2,0)，C1(0,0,2)，AC1→＝(0，－2,2)．设G(0,2，h)，则EG→＝(－1,1，h)．∵AC1⊥EG，∴EG→·AC1→＝0.∴－1×0＋1×(－2)＋2h＝0.∴h＝1，即G是AA1的中点．(2)设m＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则m⊥FE→，m⊥EG→.所以0×x＋1×y＋0×z＝0－x＋y＋z＝0.平面EFG的一个法向量m＝(1,0,1)．∵sinθ＝|m·AC1→||m|·|AC1→|＝22×22＝12，∴θ＝π6，即AC1与平面EFG所成角θ为π6.20.(本小题满分12分)解：(1)由题意知f(1)＝－3－c，因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·1x＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．由题意f′(1)＝0，因此a＋4b＝0，解得a＝12.(2)由(1)知f′(x)＝48x3lnx(x0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.当0x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知，f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，此极小值也是最小值，要使f(x)≥－2c2(x0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0，从而(2c－3)(c＋1)≥0，解得c≥32或c≤－1，所以c的取值范围为(－∞，－1]∪32，＋∞.21．(本小题满分12分)(1)证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2)．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC→＝(2,22，－2)，BF→＝(－1，2，1)，EF→＝(1,0,1)．∴PC→·BF→＝－2＋4－2＝0，PC→·EF→＝2＋0－2＝0.∴PC→⊥BF→，PC→⊥EF→∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.(2)解由(1)知平面BEF的一个法向量n1＝PC→＝(2,22，－2)，平面BAP的一个法向量n2＝AD→＝(0,22，0)，∴n1·n2＝8.设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|＝84×22＝22，∴θ＝45°.∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.22.(本小题满分12分)解(1)x0时，f(x)＝(x2－2ax)ex，f′(x)＝ex[x2＋(2－2a)x－2a]，由条件知f′(2)＝7e22，所以a＝34。(2)当x0时，f(x)＝x2－32xex，所以f′(x)＝12ex(x－1)(2x＋3)。f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，f(0)＝f32＝0，则f(x)min＝f(1)＝－e2，所以m∈－e2，0时，y＝f(x)－m有两个零点。(3)由题意，即要f(x)min≥g(x)min。(*)当x0时，f(x)＝x2－32xex，由(2)知f(x)min＝f(1)＝－e2，当x0时，－x0，所以g(x)＝lnxf－x＋b＝b1－lnxx，g′(x)＝b·lnx－1x2。因为x2∈1e，e，所以lnx－1x2≤0。①若b0，g(x)在1e，e上是减函数，g(x)min＝g(e)＝b1－1e。因为f(x)ming(x)min，所以(*)不成立。②若b0，g(x)在1e，e上是增函数，g(x)min＝g1e＝b(1＋e)。要使f(x)min≥g(x)min，只要－e2≥b(1＋e)，则b≤－e＋，即b的取值范围是－∞，－e＋。