四川省阆中中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）

四川省阆中中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题文（含解析）（总分：150分时间：120分钟）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共7页，满分l50分，考试时间l20分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（）A.20B.18C.16D.14【答案】B【解析】【分析】焦点三角形的周长为，由此计算得选项.【详解】焦点三角形的周长为，依题意，故周长为，所以选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何意义，焦点三角形的周长为，直接计算得出结果，属于基础题.2.命题“使得”的否定是（）A.使得B.，使得C.使得D.，使得【答案】D【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是全称命题，所以命题p“∃x0＞1，使得x0﹣1≥0“，则￢p为∀x＞1，x﹣1＜0．故选：D．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对函数求导，将代入，得切线的斜率，写出切线点斜式方程【详解】，将代入，得切线斜率，切线方程，即【点睛】已知切点求切线方程，对函数求导，将切点横坐标代入，得切线的斜率，再写出切线的点斜式方程4.已知双曲线上有一点M到左焦点的距离为18，则点M到右焦点的距离是（）A.8B.28C.8或28D.12【答案】C【解析】【分析】求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，可得||MF1|﹣|MF2||＝2a＝10，解方程可得所求值，检验M在两支的情况即可．【详解】解：双曲线的a＝5，b＝3，c，由双曲线的定义可得||M|﹣|MF2||＝2a＝10，即为|18﹣|MF2||＝10，解得|MF2|＝8或28．检验若M在左支上，可得|M|≥c﹣a5，成立；若M在右支上，可得|M|≥c+a5，成立．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，注意检验M的位置，属于基础题．5.抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程．【详解】由题得：，所以：，即所：故准线方程为：．故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所在位置，避免出错．6.若变量满足约束条件则的最大值为A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最大，代值计算可得取最大值，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，，，则由中点坐标公式可求，，由，在椭圆上可得，，两式相减可得，结合，代入可求直线的斜率，进而可求直线的方程.【详解】设，，，，则，由，在椭圆上可得，,两式相减可得，直线的方程为即故答案为：【点睛】本题主要考查了解析几何中的点差法和设而不求，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和应用能力.8.函数的单调减区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出，令，解不等式即可。【详解】函数的定义域为，，由得，得，得，即函数的单调递减区间为．故选D．【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题。9.函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令,由是的两根，结合图象，利用韦达定理可得，从而可得结果.【详解】令，又，由函数的图象可知，是的两根，由图可知，，故选C.【点睛】本题主要考查函数的图象与与极值点的关系以及函数极值点与方程的关系，考查了数形结合思想以及函数与方程思想的综合应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,所属于中档题.10.已知函数,若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由方程恰有两个不同实数根，等价于y＝f（x）与y＝a有2个交点，数形结合求出a的取值范围．【详解】∵,则=，令，则，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，x=时，最大为，∴f（x）的大致图像如图：要使方程恰有两个不同的实数根，即函数y=a与函数y=有两个不同的交点，∴.故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根的问题，考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，考查了函数与方程的转化，属于中档题．11.如图所示，过抛物线的焦点F的直线l，交抛物线于点A,B．交其准线l于点C，若,且，则此抛物线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知的比例关系，在直角三角形中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程.【详解】如图，过A作垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的交点，由抛物线的定义，，因为，所以，所以，，，所以，即，所以抛物线的方程为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，应用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离来解决，属于常规问题.12.已知定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】不等式的的解集等价于函数图像在下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数的性质进行研究，将还原为，即，在R上单调递减，且，故当，,即可解得不等式解集.【详解】解：令因为所以，故故在R上单调递减，又因为所以，所以当，，即的解集为故选B.【点睛】不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质（奇偶性、单调性等）进行研究，有时还需要构造新的函数.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.“”是“”的_________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】【分析】化简不等式，直接利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得或，“”能推出“”“”不能推出“”，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.14.已知是上的单调增函数，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先求导函数，利用导数与函数单调性的关系和二次函数的性质，即可求解.【详解】已知,，是上的单调增函数，恒成立，，解得.的取值范围是故答案为.【点睛】本题考查函数的单调性，利用导数解决含有参数的函数单调性问题，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.15.已知双曲线的焦距为4，点在C的渐近线上，则C的方程为_____．【答案】【解析】【分析】利用双曲线C：的焦距为4，点在C的渐近线上，可确定几何量之间的关系，由此可求双曲线的标准方程．【详解】双曲线C：的渐近线方程为双曲线C：的焦距为4，点在C的渐近线上，可得：，，,，，的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线的几何性质是关键．16.已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线左支上任意一点，的最小值为，则此双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由双曲线的定义知，可得，当且仅当，即时取得等号再由，结合可得离心率的取值范围．【详解】由定义知：，，，当且仅当，即时取得等号，此时，因为，所以可得，，又双曲线的离心率，,故答案为．【点睛】本题考查双曲线的定义、离心率与几何性质，以及基本不等式的应用，属于难题．求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.三、解答题(共70分,17题满分10分，其余各题满分各12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求下列各曲线的标准方程.（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；（2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由已知条件求得，的值；（Ⅱ）将双曲线化为标准方程，求得其左顶点为（-3，0），写出抛物线的标准方程【详解】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为由已知，2a=12,e=,所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为（-3，0）设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为，则即p=6所以抛物线的标准方程为【点睛】求圆锥曲线的标准方程，先判断焦点所在的位置，再设出曲线的标准方程，然后根据条件列方程式，解出标准方程中的系数，即得曲线的标准方程18.已知函数在R上是单调增函数，．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函数f（x）＝mx﹣2sinx在R上是单调递增函数得x∈R时，f'（x）≥0恒成立，即m﹣2cosx≥0，即m≥2cosx恒成立，得m范围，取补集即可；（2）解二次不等式m2﹣m﹣6≤0，利用复合命题及其真假列不等式组可得解．【详解】（1）由函数在R上是单调递增函数，得R时，恒成立，且无连续区间上的导数为0，则，恒成立，所以，则．若为真命题，则．（2）由，得，则，所以当为假命题时，或．又为假命题，则，都是假命题，所以实数满足解得．【点睛】本题考查复合命题及其真假、利用导数研究函数的单调性及解二次不等式，属简单题．19.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（1）求频率分布图中的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（2）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a;（2）从评分在的受访职工中都在的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答.试题解析：（1）由频率分布直方图知，所以.该企业的职工对该部分评分不低于80的概率为.（2）在的受访职工人数为，此2人评分都在的概率为.20.已知函数，曲线在点处的切线方程为，处有极值．（1）求的解析式．（2）求在上的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；结合中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．【详解】，．曲线在点P处的切线方程为，即在处有极值，所以，由得，，，所以由知．令，得，．当时，，单调递增；当时，；单调递减；当时，，单调递增.．又因，所以在区间上的最小值为．【点睛】本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．21.已知抛物线过点．（1）求抛物线C的方程；（2）求过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合）．设直线，的斜率分别为，求证：为定值．【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设直线MN的方程为，代入，利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求得为定值.【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．（2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程得。所以，．所以