四川省成都外国语学校2020届高三数学12月月考试题 理

四川省成都外国语学校2020届高三数学12月月考试题理考试时间：120分钟满分150分一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合，集合，则A.B.C.D.2.在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则A.B.C.D.3.等比数列的前项和为，若，，则A.B.C.D.4.有一批种子，对于一颗种子来说，它可能天发芽，也可能天发芽，，如表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数1234567≥8种子数826222412420统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是A.B.C.D.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如右图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的，，则输出的A.B.C.D.6.已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A.B.C.D.7.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为A.B.C.D.8.某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为A.B.C.D.9.已知实数，满足不等式，则点与点在直线的两侧的概率为A.B.C.D.10.正项数列的前项和为，且，设，则数列的前项的和为A.B.C.D.11.设函数满足，，则时A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值12.已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是A.B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）13.已知，则．14.向量，满足，，且，则，的夹角的取值范围是．15.在展开式中，的系数是．16.在平面直角坐标系xOy中，过点(0,1)的直线l与双曲线3x2-y2=1交于两点A，B.若△OAB是直角三角形，则直线l的斜率为．三、解答题（共6小题；共70分）17.在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求证：是等腰三角形；（2）若，且的周长为，求的面积．18.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有个人参加，现将所有参加者按年龄情况分为，，，，，，等七组，其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是人．（1）根据此频率分布直方图求；（2）组织者从这组的参加者（其中共有名女教师，其余全为男教师）中随机选取名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列、均值及方差．19.在如图所示的几何体中，是边长为的正三角形，，，，，且．CBEDA（1）若，求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角．20.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，离心率为，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）若，为轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．求证：直线过定点，并求出该定点。21.已知称函数()fx是“有趣的”，如果其满足1()()fxfx且x=1是它的零点。例如1()lnlngxxx就是“有趣的”。已知2()ln()ln()hxxcbx是“有趣的”。（1）求出b、c并求出函数()hx的单调区间；（2）若对于任意正数x，都有()()0hxkgx恒成立，求参数k的取值范围。请考生在22,23题中任选择一题作答，并在答题卡上把所选题目后的方框涂黑。22.在平面直角坐标系下，直线（为参数），以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的值．23.已知函数（）．（1）求不等式的解集；（2）若，证明．答案选择题1.B2.C【解析】，所以，所以．3.C4.B5.D【解析】模拟程序的运行，可得，，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，不满足条件，执行循环体，，，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为．6.C【解析】或，当时，或，当时，，因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，因此．从而或，即．7.D8.A【解析】由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，如图，其中半圆锥的底面半径为，三棱柱的底面是一个边长为的正方形，它们的高分别为：，，则该几何体的体积．9.C【解析】若点与点在直线的两侧，则，即，又实数，满足不等式，作出图象如图：由图可知，点与点在直线的两侧的概率为．10.C【解析】因为，，所以当时，，解得，当时，，化为：，所以，所以数列是等差数列，公差为，首项为，所以，，所以，则数列的前项的和11.D【解析】由，得，令，，所以．令，得．当时，；当时，，所以在时有最小值，从而当时，，则在上是增函数，所以无极大值也无极小值．12.B【解析】方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作函数的图象，由图象可得，，故；易知，即，即，即，即，，．填空13.【解析】因为，所以14.【解析】因为，所以，即，所以，故．15.-8【解析】项系数为．16.1【解析】（1）∠AOB=90°：直线l的斜率显然存在，设直线为y=kx+1。联立双曲线：3x2-y2=1，消去y得：.注意到∠AOB=90°(1)(1)0ABABxxkxkx，带入解出1k.（2）∠OAB=90°（A在左支）设A点坐标(m,n)(m0),则∠OAB=90°220mnn,联立双曲线无解，故不可能出现∠OAB=90°。（3）∠OBA=90°（B在右支），同理不可能。解答题17.（1）根据正弦定理，由可得即，故，由得，故，所以是等腰三角形．（2）由（）知，，故．又因为的周长为，得，．故的面积．18.（1）根据题意，这组频率为，所以；（2）根据题意，这组的参加者人数为，的可能取值为，，，，，，的分布列为：，．19.（1）方法一、如下图左。选择中点，证明NK和DM平行且相等即可。KNMCBEDA方法二：取的中点，连接，，因为，，，为的中点，所以，．又因为，所以，因为是边长为的正三角形，所以，．建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，．因为，所以，．设平面的法向量，则令，所以．因为，所以，又，所以．（2）设，则，．设平面的法向量，则令，所以．又平面的法向量，所以，解得，即知平面的法向量．设直线与平面所成的角为，而，所以，所以，即直线与平面所成的角为．20.（1）依题意：，，，，所以，，所以椭圆方程：．（2）设与交于，，，，，设与交于，，同理可得，所以，，所以，，三点共线．从而ED恒过定点O。由于两条不同直线至多有1个交点，故定点为O(0,0)21.（1）b=2,c=1.()hx的定义域为正实数，(0,1)为单减区间，(1,)为单增区间。（2）参数k的取值范围为1[,)2。引理：不等式1lnyy对任意正数y都成立。证明略。()()0hxkgx恒成立，即221(ln)ln02xkxx恒成立。我们构造函数221()(ln)ln2xFxkxx。注意到(1)0F。222222ln11()2((1)ln1)(1)(1)xxFxkkxxxxxxxx构造()(1)ln1Gtkttt，注意到(1)0G，且221()()(1)FxGxxx11()ln1(1ln)21kGtktkkkttt我们以下分两部分进行说明：第一部分：12k时，()0Fx恒成立。12k，由1lnyy，知道11()(1ln)210Gtkktt，从而当1t时有()(1)0GtG，1t时有()(1)0GtG，所以221()()(1)FxGxxx在(0,1)上为负，在(1,)上为正。从而()Fx在(0,1)上单减，在(1,)上单增，最小值为F(1)。第二部分：12k时，不满足条件。构造函数()(1ln)21Hskssk。(i)若0k，则对于任意(0,1)s，都有()0Hs。(ii)若0k，则对于任意(0,1)s，()(1)0kHsss，而11(e)(e1)0kkhk，所以在(0,1)上()Hs有唯一零点0ss，同时在0(,1)ss，时都有()0Hs。于是只要12k，无论是(i)还是(ii)，我们总能找到一个实数001s，在0(,1)ss时都有()0Hs。这样在01(1,)ts时，都有1()()0GtHt，结合(1)0G，所以01(1,)ts时()0Gt，从而在01(1,)xs时有221()()0(1)FxGxxx。(1)0F，所以01(1,)xs时()0Fx，不满足要求。第二部分另证：（洛必达法则）221(ln)ln02xkxx恒成立也即221ln2(ln)xxkx恒成立，命0x，则有222220000011ln(ln)111122limlimlimlimlim1(ln)2(1)lnln222lnxxxxxxxxxxxxkxxxxxx（备注：第二部分直观上看，(1)0G，(1)210Gk，所以可能存在01t使得在0(1,)tt恒成立()0Gt，从而在0(1,)tt上恒成立()0Ft，结合(1)0F有()0Ft矛盾。）22.（1）直线的普通方程为，由，得，则，即，即曲线的直角坐标方程为．（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，即，设方程的两根分别为，，则，，所以．23.（1）由可得，即或或解得：．即不等式的解集．（2）要证，即证，因为，所以只需证，即证，由（）可知，，当且仅当时等号成立，显然上式成立，故原命题得证．