不等式与不等式组知识点与练习

1/19不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括：＞、＜、≥、≤、≠。2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3212/195、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。用字母表示为：如果ba，那么cbca；如果ba，那么cbca；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。用字母表示为：如果0,cba，那么bcac(或cbca)；如果0,cba，不等号那么bcac(或cbca)；不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，的方向改变。用字母表示为：如果0,cba，那么bcac(或cbca)；如果0,cba，那么bcac(或cbca)；解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为xa或x＜a的形式。（注：①传递性：若a＞b,b＞c,则a＞c.②利用不等式的基本性质可3/19以解简单的不等式）（三、）一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、任何一个一元一次不等式都可以化为最简形式：axb＞或axb＜（a≠0）的形式。3、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（特别要注意不等号方向改变的问题）。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。（四、）一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1。2、使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。4/193、不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组的一般步骤：①分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴表示出各个不等式的解集；③找出公共部分；④用不等式表示出这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解(此时也称这个不等式组的解集为空集)。6、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。（五、）一元一次不等式（组）的应用一般方法步骤：（1）审：分析题意，找出不等关系；（2）设：设未知数；（3）列：列出不等式组；（4）解：解不等式组；5/19（5）检验：从不等式组的解集中找出符合题意的答案；（6）答：写出问题答案。1、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。2、不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。3、一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。4、一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。6/195、一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了．6、一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大、大小取中间，小小、大大无处找．7、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集通常有如下四种类型（其中a＜b）不等式组数轴表示解集顺口溜x＞b大大取较大x＜a小小取较小a＜x＜b大小、小大中间找无解大大、小小解不了练习题一1．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是。2．已知关于x的不等式组1250xax无解，则a的取值范围是。xaxbxaxbxaxbxaxb7/193．不等式组0221042xx的整数解为。4．如果关于x的不等式（a-1）xa+5和2x4的解集相同，则a的值为。5．已知关于x的不等式组01234axxx的解集为2x，那么a的取值范围是。6．当x时，代数式52x的值不大于零7.若x１，则22x０（用“”“=”或“”号填空）8.不等式x27１，的正整数解是9.不等式x10a的解集为x３，则a10.若abc，则不等式组cxbxax的解集是11.若不等式组3212bxax的解集是－１x１，则)1)(1(ba的值为12.有解集２x３的不等式组是（写出一个即可）13.一罐饮料净重约为３００g，罐上注有“蛋白质含量6.0”其中蛋白质的含量为_____g14.若不等式组3xax的解集为x３，则a的取值范围是练习题二一、判断题（每题1分，共6分）1、a＞b，得a＋m＞b＋m（）2、由a＞3，得a＞23（）3、x=2是不等式x＋3＞4的解（）8/194、由－21＞－1，得－2a＞－a（）5、如果a＞b，c＜0，则ac2＞bc2（）6、如果a＜b＜0，则ba＜1（）二、填空题（每题2分，共34分）1、若a＜b，用“＞”号或“＜”号填空：a－5b－5；－2a－2b；－1＋2a－1＋2b；6－a6－b；2、x与3的和不小于－6，用不等式表示为；3、当x时，代数式2x－3的值是正数；4、代数式41＋2x的不大于8－2x的值，那么x的正整数解是；5、如果x－7＜－5，则x；如果－2x＞0，那么x；6、不等式ax＞b的解集是x＜ab，则a的取值范围是；7、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为；练习题三一、选择题1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）A．2,3xxB．10,20xyC．320,(2)(3)0xxxD．320,11xxx2．下列说法正确的是（）9/19A．不等式组3,5xx的解集是5x3B．2,3xx的解集是－3x－2C．2,2xx的解集是x=2D．3,3xx的解集是x≠33．不等式组2,3482xxx的最小整数解为（）A．－1B．0C．1D．44．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（）A．3x5B．－3x5C．－5x3D．－5x－35．不等式组20,30xx的解集是（）A．x2B．x3C．2x3D．无解二、填空题6．若不等式组2,xxm有解，则m的取值范围是______．7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____．8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子．9．若不等式组2,20xabx的解集是－1x1，则（a+b）2006=______．10/19三、解答题10．解不等式组（1）2(2)4,(1)10(2)32xxxx（2）2x－3＜1，①x－12＋2≥－x．②11．若不等式组1,21xmxm无解，求m的取值范围．12、若关于x的不等式组5－2x≥－1，x－a＞2无解，则a的取值范围是________________．13、已知关于x的不等式组x－a≥0，3－2x＞－1的整数解共有5个，则a的取值范围是_________．易错点分析：易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．例1解不等式组x－1＞0，①x＋2＜0．②错解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1．错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，这些都是错误的．11/19正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式组无解．易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”．例2解不等式组5x＋12＞6－3x，①4＋x3－5＞2－2(1＋x)3．②错解：解不等式①，得x＞－34．解不等式②，得x＞5．由于x＞－34的范围较大，所以不等式组的解集为x＞－34．错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a＜b），①x＞a，x＞b，②x＜a，x＞b，③x＞a，x＜b，④x＜a，x＞b．利用数可确定它们的解集分别为①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”．正解：解不等式①，得x＞－34．解不等式②，得x＞5．所以不等式组的解集为x＞5．易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．例3解不等式组x2－2(x＋3)≤11，①3x2＋2(x＋3)≤3．②12/19错解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式组的解集为x≤7．错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．正解：由不等式①，得32x≥－17，即x≥－343．由不等式②，得72x≤－3，即x≤－67．所以原不等式组的解集为－343≤x≤－67．易错点4：在去分母时，漏乘常数项．例4解