四川省成都外国语学校2018-2019学年高一数学下学期期中试题 理

成都外国语学校2018－2019学年度下期期中考试高一数学试卷(理)注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分2、本堂考试时间120分钟，满分150分3、答题前，请考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卷上，并用2B铅笔填涂4、考试结束后，请考生将答题卷交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。1.一个三角形的三个内角CBA,,的度数成等差数列，则B的度数为（）A.30B.45C.60D.902.数列12，16，112，120，…的一个通项公式是()A．an＝1nn－B．an＝1n－C．an＝1n－1n＋1D．an＝1－1n3.下面关于等比数列na和公比q叙述正确的是（）A.1nqa为递增数列B.na为递增函数1qC.01nqa为递减数列D.1nqa¿为递增函数列且na为递增函数1q¿4.在△ABC中角CBA,,所对的边分别为cba,,以下叙述或变形中错误．．的是()A．，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a＝b⇔sin2A＝sin2BC．asinA＝b＋csinB＋sinCD．BABAsinsin5.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形6.已知α、β为锐角，cosα＝35，tan(α−β)＝−13，则tanβ＝()A、13B、3C、913D、1397.设na*()nN是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错．误．的是（）A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值8.在ABC中，已知,45,1,2Bcb则此三角形有几个解()A．0B．1C．2D．不确定9.在C中，角、、C所对的边分别为a、b、c，若2223bcabc，且3ba，则下列关系一定不成立．．．．．的是（）A．acB．bcC．2acD．222abc10.已知0,，且2sin()410，则tan2（）A．43B．34C．247D．24711.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A．maB．1)1()1(11mmppapC．1)1(1mmppapD．1)1()1(mmppap12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有(3)nn个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为na，则当3n时，na和1na满足（）A.143nnaanB.141nnaaC.121nnaaD.12nnaan丙乙甲第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.在ABC中角ABC、、所对的边分别为abc、、，若75,60,3ABb则c14.设nS为数列}{na的前n项和，已知),2(2,2,0*11NnnaSSaannnn则nS___________15.已知非零平面向量a，b满足|b|=1，且a与b-a的夹角为150°，则|a|的最大值为____________16.已知ABC的三个内角CBA,,的对边分别为cba,,，满足0)1sin)((cosCbcaCb，且2ca，则Bsin的值为__________三、解答题(本大题共6个小题，共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本题满分10分)已知函数23()3cossincos2fxxxx(1)求()fx的最小正周期；(2)求()fx在区间,64上的最大值和最小值．18．(本题满分12分)已知sinα＋cosα＝355，)4,0(，53)4sin(，)2,4((1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．19.设正项等比数列na中，481a，且23,aa的等差中项为1232aa.（1）求数列na的通项公式；（2）若321lognnba，数列nb的前n项和为nS，数列nc满足141nncS，记nT为数列nc的前n项和，求nT.20.(本题满分12分)已知各项均为正数的等差数列{}na的前三项的和为27，且满足1365aa，数列{}nb的前n项和为nS，且对一切正整数n，点(,)nnS都在函数133()22xfx的图象上.(I)求数列{}na和{}nb的通项公式；(II)设nnncab，求数列{}nc的前n项和为nT；21.(本题满分12分)数列}{na的前n项和为nS（1）若}{na为等差数列，求证：2)(1nnaanS；（2）若2)(1nnaanS，求证：}{na为等差数列.22.(本题满分12分)在ABC中，CBA、、是ABC的内角，向量)cos,(sinBAAB，)cos,(sinABAC且21ACAB（I）求角C；（II）求ABC的面积.成都外国语学校2018－2019学年度下期期中考试高一数学试卷(理)参考答案一、选择题：CCDBCBCBBCDC二、填空题13.2；14.2)222(n；15.2；16.54三、解答题(本大题共6个小题，共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本题满分10分)已知函数23()3cossincos2fxxxx(1)求()fx的最小正周期；(2)求()fx在区间,64上的最大值和最小值．【解析】（1）23cossincos3)(2xxxxf232sin212)12(cos3xx…………………………………2分3)32sin(x……………………………………………………4分所以函数)(xf的最小正周期22T…………………………………………5分（2）因为46x，所以65320x………………………………6分当232x时，即12x是13)(maxxf………………………………8分当032x时，即6x是3)(maxxf………………………………10分18．(本题满分12分)已知sinα＋cosα＝355，)4,0(，53)4sin(，)2,4((1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．【解析】(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.……3分又2α∈)2,0(，∴cos2α＝1－sin22α＝35∴tan2α＝2cos2sin＝43.…………………………………………6分(2)∵)2,4(，)4,0(4又53)4sin(∴54)4cos(，于是2524)4cos()4sin(2)4(2sin又2cos)4(2sin，∴cos2β＝－2425，又∵),2(2，∴sin2β＝725………………………………9分又∵cos2α＝22cos1=54又)4,0(，∴cosα＝255，sinα＝55.……………………11分∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝255×－2425－55×725＝－11525……12分19.(本题满分12分)设正项等比数列na中，481a，且23,aa的等差中项为1232aa.（1）求数列na的通项公式；（2）若321lognnba，数列nb的前n项和为nS，数列nc满足141nncS，记nT为数列nc的前n项和，求nT.【解析】（1）设正项等比数列na的公比为q由23,aa的等差中项为1232aa可得)(2322132aaaa………………3分即)(232)(2121aaaaq则3q所以nnnnqaqaa34411…………………………………………6分（2）123log123nbnn……………………………………7分则数列nb是以1为首项，2为公比的等差数列于是22)121(nnnSn…………………………………………8分从而)121121(211412nnncn…………………………………10分则nncccT21)121121(21)5131(21)3111(21nnTn则12nnTn…………………………………………………………………………12分20.(本题满分12分)已知各项均为正数的等差数列{}na的前三项的和为27，且满足1365aa，数列{}nb的前n项和为nS，且对一切正整数n，点(,)nnS都在函数133()22xfx的图象上.(I)求数列{}na和{}nb的通项公式；(II)设nnncab，求数列{}nc的前n项和为nT；【解析】（1）设等差数列{}na的公差为d，且0d由题2732321aaaa则92a又65))((2222231dadadaaa则4d，所以14nan…………………………………………………………3分又23231nnS……①当2n时23231nnS……②由②①-有nnb3当1n时也满足上式所以nnb3…………………………………………………………………………6分（2）nnnc3)14(nnnT3)14(39352……③1323)14(39353nnnT……④………………………………8分由③-④有1323)14(343434352nnnnT则1323)14()333(4352nnnnT…………………………10分1123)14(]31)31(3[4152nnnnT23)14(231nnnT…………………………………………………………12分21.(本题满分12分)数列}{na的前n项和为nS.（1）若}{na为等差数列，求证：2)(1nnaanS；（2）若2)(1nnaanS，求证：}{na为等差数列.【解析】（1）证明：已知)数列}{na为等差数列，设其公差为d，有dnaan)1(1则nnaaaaS321于是])1([)2()(1111dnadadaaSn……①又])1([)2()(dnadadaaSnnnnn……②由①②相加有)(21nnaanS即2)(1nnaanS…………………………6分（2）证明：由1()2nnnaaS，有当2n≥时，111(1)()2nnnaaS，所以1111()(1)()22nnnnnnaanaaaSS，③…………9分1111(1)()()22nnnnaanaaa，④④－③并整理，得11(2)nnnnaaaan≥，即112nnnaaa……11分所以数列na是等差数列．…………………………………………12分22